Točno
26. ožujka 2014. 21:17 (10 godine, 3 mjeseci)
Zadana je uređena trojka brojeva
![(a, b, c)](/media/m/f/3/a/f3acfeb8e643dcffaff04ac1c181f9af.png)
na kojoj možemo vršiti sljedeću operaciju: uzmemo dva broja iz trojke i zamijenimo ih s
![\frac{a+b}{\sqrt{2}}](/media/m/d/e/5/de5ceadc03ab7bf044a6ce372923b64b.png)
i
![\frac{a-b}{\sqrt{2}}](/media/m/6/7/2/672e61c8996150f7217fb9cca057e1fb.png)
. Možemo li doći do trojke
![(1, \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})](/media/m/d/b/8/db8b6102eaa0e522bdb8b930b6c99b24.png)
krenuvši od trojke
![(2, \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})](/media/m/3/f/4/3f414ea457ec44a1b6ca84145d57dc87.png)
?
%V0
Zadana je uređena trojka brojeva $(a, b, c)$ na kojoj možemo vršiti sljedeću operaciju: uzmemo dva broja iz trojke i zamijenimo ih s $\frac{a+b}{\sqrt{2}}$ i $\frac{a-b}{\sqrt{2}}$. Možemo li doći do trojke $(1, \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ krenuvši od trojke $(2, \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$?
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Ovo je tipičan zadatak koji možemo riješiti korištenjem invarijanti. Primjetimo da je ovdje zbir kvadrata brojeva
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
i
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
invarijanta. To dobijamo zbog
![(\frac{a+b}{\sqrt{2}})^2+(\frac{a-b}{\sqrt{2}})^2+c^2=\frac{a^2+b^2+2ab}{2}+\frac{a^2+b^2-2ab}{2}+c^2=\frac{a^2+b^2-2ab+a^2+b^2+2ab}{2}+c^2=a^2+b^2+c^2](/media/m/4/9/0/490b01618f8264ac979542d8ba98c8e7.png)
Sada zbir kvadrata za trojku
![(2,\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})](/media/m/3/5/f/35fb59019d1f3d24b1a8a3a737cc9f51.png)
iznosi
![2^2+(\sqrt{2})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{13}{{2}}](/media/m/7/7/6/7766ca733b651b620e44f37db3873f54.png)
a zbir kvadrata za trojku koju treba dokučiti je
![1^2+(\sqrt{2})^2+(1+\sqrt{2})^2=1+2+1+2\sqrt{2}+2=6+2\sqrt{2}](/media/m/f/8/6/f8698a452781df123e6f64f77667ade8.png)
.Kako su ova dva zbira različiti slijedi da nije moguće doći nizom transformacija do date trojke pa je odgovor na pitanje zadatka ne.
%V0
Ovo je tipičan zadatak koji možemo riješiti korištenjem invarijanti. Primjetimo da je ovdje zbir kvadrata brojeva $a$,$b$ i $c$ invarijanta. To dobijamo zbog $(\frac{a+b}{\sqrt{2}})^2+(\frac{a-b}{\sqrt{2}})^2+c^2=\frac{a^2+b^2+2ab}{2}+\frac{a^2+b^2-2ab}{2}+c^2=\frac{a^2+b^2-2ab+a^2+b^2+2ab}{2}+c^2=a^2+b^2+c^2$
Sada zbir kvadrata za trojku $(2,\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})$ iznosi $2^2+(\sqrt{2})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{13}{{2}}$ a zbir kvadrata za trojku koju treba dokučiti je $1^2+(\sqrt{2})^2+(1+\sqrt{2})^2=1+2+1+2\sqrt{2}+2=6+2\sqrt{2}$.Kako su ova dva zbira različiti slijedi da nije moguće doći nizom transformacija do date trojke pa je odgovor na pitanje zadatka ne.
27. ožujka 2014. 10:52 | ikicic | Točno |