Školjka

%V0 Za početak dokažimo $(a+b+c)^2 \geqslant 3*(ab+ac+bc)$: $$(a+b+c)^2 \geqslant 3*(ab+ac+bc) \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab+ac+bc,$$ a ovo slijedi iz MPV nejednakosti. CSB nejednakost: $$\frac{a^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2}{(b+a)(b+c)} + \frac{c^2}{(c+a)(c+b)} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{(a^2+b^2+c^2) + 3*(ab+ac+bc)}$$ $$=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+ac+bc}$$ $$\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2 + \frac{1}{3}(a+b+c)^2} = \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{3}(a+b+c)^2} = \frac{3}{4}\text{ }\blacksquare$$