Točno
19. siječnja 2014. 00:39 (10 godine, 6 mjeseci)
Neka je
![f(x) = x^{2002} - x^{2001} + 1](/media/m/1/6/a/16a4fb30525309b489af40531062cb33.png)
. Dokazati da su za svaki prirodan broj
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
brojevi
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
,
![f(m)](/media/m/0/f/f/0ff83359cffe1db2b53c99d5197fd294.png)
,
![f(f(m))](/media/m/f/f/c/ffc364f799eedb2851d18e9201335f87.png)
,
![f(f(f(m)))](/media/m/3/8/2/3827ac63c467fb2c8a21e64d0ce50336.png)
, ..., u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
.
%V0
Neka je $f(x) = x^{2002} - x^{2001} + 1$. Dokazati da su za svaki prirodan broj $m$ brojevi $m$, $f(m)$, $f(f(m))$, $f(f(f(m)))$, ..., u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od $1$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Funkcija se može drugačije zapisati:
![f(x)=x^{2001}(x-1)+1](/media/m/2/6/1/261af2c27d2bd86534f0b589e1cb6750.png)
.
Označimo
![f(f(f(..f(x))))=f_n(x)](/media/m/a/7/e/a7e2902c0d5338a07f305590b03298d9.png)
, gdje je
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
iterirana
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
puta. Definirajmo
![f_0(x)=x](/media/m/5/b/5/5b5f1b11d2120fe1f7c85f95b0e24c1c.png)
.
Dokazat ćemo indukcijom:
![f_n(x)=(x-1)\prod_{i=0}^{n-1}f_i(x)^{2001} + 1](/media/m/b/3/8/b3895861bc979958c9a6ba1edce4b1aa.png)
.
![f(x)=x^{2001}(x-1)+1](/media/m/2/6/1/261af2c27d2bd86534f0b589e1cb6750.png)
![f_n(x)=(x-1)\prod_{i=0}^{n-1}f_i(x)^{2001} + 1](/media/m/b/3/8/b3895861bc979958c9a6ba1edce4b1aa.png)
![f_{n+1}(x)=f(f_n(x))=(x-1)f_n(x)^{2001}(f_n(x) - 1) + 1=(x-1)\prod_{i=0}^{n}f_i(x)^{2001} + 1](/media/m/5/a/5/5a5df82357becbe7035a908e186a27ce.png)
Očito je
![f_n(m) - 1](/media/m/5/7/a/57a38753524717ad27b5be88b93427ad.png)
djeljivo sa svakim
![f_i(m)](/media/m/c/3/d/c3dd6cbbd7b6ec1b61f64dd211577263.png)
za
![0 \le i <n](/media/m/0/d/d/0dd0ba45583d6ab65d868941554b3e88.png)
, stoga je
![f_n(m)](/media/m/1/4/d/14d37f0f1c7426e208ff6f8ee52212e5.png)
relativno prost sa svakom iteracijom od
![f(m)](/media/m/0/f/f/0ff83359cffe1db2b53c99d5197fd294.png)
prije njega, što izravno implicira tvrdnju zadatka.
%V0
Funkcija se može drugačije zapisati: $f(x)=x^{2001}(x-1)+1$.
Označimo $f(f(f(..f(x))))=f_n(x)$, gdje je $f$ iterirana $n$ puta. Definirajmo $f_0(x)=x$.
Dokazat ćemo indukcijom: $f_n(x)=(x-1)\prod_{i=0}^{n-1}f_i(x)^{2001} + 1$.
$BI:$ $f(x)=x^{2001}(x-1)+1$
$PI:$ $f_n(x)=(x-1)\prod_{i=0}^{n-1}f_i(x)^{2001} + 1$
$KI:$ $f_{n+1}(x)=f(f_n(x))=(x-1)f_n(x)^{2001}(f_n(x) - 1) + 1=(x-1)\prod_{i=0}^{n}f_i(x)^{2001} + 1$
Očito je $f_n(m) - 1$ djeljivo sa svakim $f_i(m)$ za $0 \le i <n$, stoga je $f_n(m)$ relativno prost sa svakom iteracijom od $f(m)$ prije njega, što izravno implicira tvrdnju zadatka.
19. siječnja 2014. 13:51 | ikicic | Točno |