Točno
19. siječnja 2014. 13:46 (10 godine, 6 mjeseci)
Kiki želi u svojoj matematičkoj bilježnici zacrniti
![100](/media/m/c/c/c/ccc0563efabf7c1a3d81b0dc63f5b627.png)
jediničnih kvadratića tako da ukupan opseg zacrnjenog područja bude minimalan. Odredite koliko iznosi minimalan opseg te jedan način zacrnjivanja za koji se on postiže.
%V0
Kiki želi u svojoj matematičkoj bilježnici zacrniti $100$ jediničnih kvadratića tako da ukupan opseg zacrnjenog područja bude minimalan. Odredite koliko iznosi minimalan opseg te jedan način zacrnjivanja za koji se on postiže.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka su zacrnjeni kvadratići postavljeni i neka najmanji pravokutnik ("minimum bounding box") u koji stanu svi zacrnjeni kvadratići ima stranice
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
i
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
.
Opseg
![O](/media/m/9/6/0/9601b72f603fa5d15addab9937462949.png)
definirajmo kao broj stranica koje ne graniče ni s kojom drugom stranicom.
U svakom stupcu najmanjeg pravokutnika sa stranicama
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
i
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
ima najmanje
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
takve stranice (gornja stranica najgornjeg i donja stranica najdonjeg kvadratića). Analogno vrijedi i za stupce. Iz toga zaključujemo
![O \ge 2(a+b)](/media/m/b/3/d/b3dbc085987a3ecd8b5d40d58c6504ba.png)
.
Također znamo da najmanji pravokutnik mora imati površinu barem
![100](/media/m/c/c/c/ccc0563efabf7c1a3d81b0dc63f5b627.png)
(jer sadrži sve kvadratiće). Iz toga dobivamo
![ab \ge 100 \implies \sqrt{ab} \ge 10](/media/m/5/2/c/52cc39b654703f4db13f6c6989f075df.png)
.
Sada primjenom
![A-G](/media/m/f/9/b/f9b52bfde0a0c331d8d92115e48a1f5d.png)
nejednakosti dobivamo:
![O = 2(a+b) \ge 4\sqrt{ab} \ge 40](/media/m/b/5/8/b58ea96cf1f4d02668084069ad26b1c2.png)
. Jednakost se postiže za
![a=b=10](/media/m/b/0/0/b00deee56f4f201e139be0d18dfc7781.png)
, tj. zacrnjeni kvadrat sa stranicom
![10](/media/m/5/b/e/5beb46430dbe2d22c0f8289c36a92c84.png)
.
%V0
Neka su zacrnjeni kvadratići postavljeni i neka najmanji pravokutnik ("minimum bounding box") u koji stanu svi zacrnjeni kvadratići ima stranice $a$ i $b$.
Opseg $O$ definirajmo kao broj stranica koje ne graniče ni s kojom drugom stranicom.
U svakom stupcu najmanjeg pravokutnika sa stranicama $a$ i $b$ ima najmanje $2$ takve stranice (gornja stranica najgornjeg i donja stranica najdonjeg kvadratića). Analogno vrijedi i za stupce. Iz toga zaključujemo $O \ge 2(a+b)$.
Također znamo da najmanji pravokutnik mora imati površinu barem $100$ (jer sadrži sve kvadratiće). Iz toga dobivamo $ab \ge 100 \implies \sqrt{ab} \ge 10$.
Sada primjenom $A-G$ nejednakosti dobivamo: $O = 2(a+b) \ge 4\sqrt{ab} \ge 40$. Jednakost se postiže za $a=b=10$, tj. zacrnjeni kvadrat sa stranicom $10$.
19. siječnja 2014. 13:46 | ikicic | Točno |