Točno
22. travnja 2012. 18:08 (12 godine, 2 mjeseci)
Neka su
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
,
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
pozitivni realni brojevi takvi da je
![a^2 + b^2 + c^2 = 3](/media/m/f/f/5/ff5129a6a7b59585c2fd7d7a0922d7a8.png)
. Dokaži nejednakost
%V0
Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Dokaži nejednakost $$\frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} \geqslant \frac{3}{2} \text{.}$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Iz CSB nejednakosti slijedi:
![\frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} \geqslant \frac{3^2}{3 + ab + ac + bc}](/media/m/e/a/7/ea71d8f7e9595753322acfdea79be945.png)
Dok iz MPV nejednakosti imamo
![ab+ac+bc \leqslant a^2+b^2+c^2 = 3](/media/m/1/e/4/1e4b5ff1ad0dd31fcb02444a08cfe1f5.png)
Sada dobivamo
%V0
Iz CSB nejednakosti slijedi:
$$\frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{1}{1+ca} \geqslant \frac{3^2}{3 + ab + ac + bc}$$
Dok iz MPV nejednakosti imamo
$$ab+ac+bc \leqslant a^2+b^2+c^2 = 3$$
Sada dobivamo
$$\frac{9}{3+ab+ac+bc} \geqslant \frac{9}{3+a^2+b^2+c^2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\text{ }\blacksquare$$
22. travnja 2012. 19:04 | grga | Točno |
2. svibnja 2012. 20:42 | ikicic | Točno |