Školjka

%V0 zbog homogenosti, stavimo $s=1 \Rightarrow 0 \leq a_i \leq 1$, $ \forall i \in \{1, 2, \dots, n\}$ zelimo pokazati da je funckija $f ( x ) = \frac{x}{1-x}$ konvexna na intervalu $<0,1>$ dovoljno je pokazati $$f(x) + f(y) \geq 2f(\frac{x+y}{2}) \Leftrightarrow$$ $$\frac{x}{1-x} + \frac{y}{1-y} \geq \frac{x+y}{2-x-y}$$ ali kako je po CSB revisited $$\frac{x}{1-x} + \frac{y}{1-y} \geq \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{2-x-y}$$ jasno je da je funkcija konvexna sad primjenom Jensenove nejednakosti slijedi $$f (a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_n) \geq nf(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}) = nf(\frac{1}{n}) \Leftrightarrow$$ $$\dfrac{a_1}{1 - a_1} + \dfrac{a_2}{1 - a_2} + \dots + \dfrac{a_n}{1 - a_n} \geq n\dfrac{\frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{n}} = \frac{n}{n-1}