Točno
11. veljače 2014. 20:30 (10 godine, 5 mjeseci)
Nađite sve funkcije
![f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}](/media/m/3/1/5/315850f3afc88fd1c36b0d808e29d648.png)
takve da je
![f(x+f(x+y^2)+y)=f(2x-y) + 3y \, \forall x, y \in \mathbb{R}\text{,}](/media/m/e/5/6/e56420252d3dae810145d931aa45410f.png)
uz uvjet da je
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
injektivan.
%V0
Nađite sve funkcije $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takve da je $$f(x+f(x+y^2)+y)=f(2x-y) + 3y \, \forall x, y \in \mathbb{R}\text{,}$$ uz uvjet da je $f$ injektivan.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Uvrstimo
![y = 0](/media/m/4/7/3/4735b587202f8bdd01ea1db0e5e55a22.png)
u pocetnu jednadzbu:
![f(x + f(x)) = f(2x)](/media/m/5/9/8/598e8f32c13733166f576e3e8e1a54f9.png)
.
Zbog injekcije, slijedi da je
![x + f(x) = 2x](/media/m/c/7/6/c761ffde2f0def031ca3e3d86d41d0b5.png)
, odnosno
![f(x) = x](/media/m/7/c/3/7c348b766d3f2d65948e6ebdedf2fd2a.png)
.
No, to rjesenje ne zadovoljava pocetnu jednadzbu. Dakle, ne postoji trazena funkcija.
%V0
Uvrstimo $y = 0$ u pocetnu jednadzbu: $f(x + f(x)) = f(2x)$.
Zbog injekcije, slijedi da je $x + f(x) = 2x$, odnosno $f(x) = x$.
No, to rjesenje ne zadovoljava pocetnu jednadzbu. Dakle, ne postoji trazena funkcija.
17. siječnja 2015. 01:26 | grga | Točno |