Školjka

%V0 a) Pretpostavimo da $xyz$ nije djeljiv s $5$. Tada nijedan od $x$, $y$, $z$, nije djeljiv s $5$. Kako kvadrati cijelih brojeva $(mod 5)$ mogu davati samo ostatke $0, 1, 4$ vidimo da $x^2$, $y^2$, $z^2$, mogu davati sljedeće uređene trojke ostataka $(mod 5)$: $(4,4,4), (4,4,1), (4,1,1), (1,1,1)$ i permutacije. Jasno je da svaki od ovih slučajeva vodi kontradikciji jer nije moguće da svi $a^2, b^2, c^2$ budu potpuni kvadrati jer uvijek neki od njih ne može davati neki od ostataka $0,1,4$ $(mod 5)$ zbog uvjeta zadatka. b)Dovoljno je pokazati djeljivost s $11$. Pretpostavimo da $xyz$ nije djeljiv s $11$. Tada nijedan od $x$, $y$, $z$, nije djeljiv s $11$. Kako kvadrati cijelih brojeva $(mod 11)$ mogu davati samo ostatke $0, 1, 3, 4, 5, 9$.Vidimo da $x^2 ,y^2 ,z^2$ moraju davati neku trojku ostataka iz skupa ostataka $(1, 3, 4, 5, 9)$. Vidimo da ako neka dva daju isti ostatak da je to kontradikcija s uvjetom zadatka, dakle svi moraju davati različite ostatke. Sve ostale kombinacije $(9,5,4), (9,5,3), (9,5,1), (9,4,3), (9,4,1), (9,3,1), (5,4,3), (5,4,1), (5,3,1), (4,3,1)$ i njihove permutacije daju kontradikciju s uvjetom zadatka.