Školjka

%V0 promatramo prvu jednadžbu i analogno radimo postupak za ostale : x^3 + 1 / 4y = z / * 4y x^3 * 4y + 1 = 4yz Uvedemo varijable : 4xy = a , 4yz = b , 4zx = c , a iz toga slijedi : x^2 = a*c/4b y^2 = a*b/4c z^2 = b*c/4a Sustav postaje : a^2*c/4b + 1 = b (i analogno ostali) , sve mnozimo s 4b (i u ostalim jednadžbama također) Dobijemo : a^2*c + 4b = 4b^2 a*b^2 + 4c = 4c^2 b*c^2 + 4a = 4a^2 Primjetimo da ukoliko je jedan od a , b ili c < 0 onda ostali moraju biti > 0. Uzmemo npr da je a < 0 , a = 4xy , znaci npr x < 0 (za y je analogno). Znamo : b = 4yz , > 0 , znaci y i z su istog predznaka. Znamo : c = 4zx > 0 iz cega zakljucujemo da su x i z oboje < 0 , pa to vrijedi i za y , no to je suprotno s pretpostavkom a = 4xy < 0, pa zakljucujemo da su svi > 0. Sada mozemo uvesti A-G : a^2*c + 4b >= 4a*sqrt(bc) a*b^2 + 4c >= 4b*sqrt(ac) b*c^2 + 4a >= 4c*sqrt(ab) Sada pomnožimo sve ove nejednakosti , i dobijemo (a^2*c + 4b)(a*b^2 + 4c)(b*c^2 + 4a) >= 64*a^2*b^2*c^2, što je jednako tome da smo izmnožili dobiveni sustav jednadžbi. Pa zakljucujemo da jednakost vrijedi samo ako a = b = c = 2 , iz čega slijedi da je x = y = z = +- 1 / sqrt(2)