Školjka

%V0 Promotrimo prvo predznake brojeva $x$, $y$ i $z$. Ukoliko su svi brojevi negativni, onda zamjenom $x \rightarrow -x$, $y \rightarrow -y$ i $z \rightarrow -z$ dobivamo ekvivalentnan problem u kojem su $x$, $y$ i $z$ pozitivni. Slučaj jedne negativne i dvije pozitivne varijable nije moguć, jer npr. za $z < 0$ bi se dobila kontradikcija u prvoj jednadžbi. Iz istog razloga ne mogu biti dvije negativne i jedna pozitivna. Dakle, sve su varijable istog predznaka. Pretpostavimo da su pozitivne. Zbrojimo sada sve jednadžbe: $$ x^3 + y^3 + z^3 + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = x + y + z\text{.} \quad (*) $$U toj jednadžbi uočavamo tri A-G nejednakosti: $$ x^3 + \frac{1}{4x} \geq x, \quad y^3 + \frac{1}{4y} \geq y, \quad z^3 + \frac{1}{4z} \geq z\text{.} $$ Jednadžba $(*)$ zahtijeva da u svim tim nejednakostima vrijede jednakosti. Dakle, $x^3 = 1/(4x)$, $y^3 = 1/(4x)$ i $z^3=1/(4z)$. Budući da su $x$, $y$ i $z$ istog predznaka, jedina dozvoljena rješenja su: $$ x = y = z = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$