Točno
20. svibnja 2014. 20:27 (10 godine, 1 mjesec)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Promotrimo prvo predznake brojeva
,
i
. Ukoliko su svi brojevi negativni, onda zamjenom
,
i
dobivamo ekvivalentnan problem u kojem su
,
i
pozitivni. Slučaj jedne negativne i dvije pozitivne varijable nije moguć, jer npr. za
bi se dobila kontradikcija u prvoj jednadžbi. Iz istog razloga ne mogu biti dvije negativne i jedna pozitivna. Dakle, sve su varijable istog predznaka. Pretpostavimo da su pozitivne.
Zbrojimo sada sve jednadžbe:
U toj jednadžbi uočavamo tri A-G nejednakosti: ![x^3 + \frac{1}{4x} \geq x, \quad
y^3 + \frac{1}{4y} \geq y, \quad
z^3 + \frac{1}{4z} \geq z\text{.}](/media/m/d/f/9/df941229c325c7d220ddac630d934126.png)
Jednadžba
zahtijeva da u svim tim nejednakostima vrijede jednakosti. Dakle,
,
i
. Budući da su
,
i
istog predznaka, jedina dozvoljena rješenja su:
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![z](/media/m/d/2/4/d241a79f1fdd0ce9a8f3f91570ba5d62.png)
![x \rightarrow -x](/media/m/2/e/2/2e2de90c8e38c04ce14a5f4467d78f9a.png)
![y \rightarrow -y](/media/m/8/3/3/833cbdd9f26330205c91f578b3ee454a.png)
![z \rightarrow -z](/media/m/c/a/b/cab462b055c7e7e82c9a6e76e581a440.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![z](/media/m/d/2/4/d241a79f1fdd0ce9a8f3f91570ba5d62.png)
![z < 0](/media/m/d/b/d/dbdfaadb983736c463b441c1aef0a9c6.png)
Zbrojimo sada sve jednadžbe:
![x^3 + y^3 + z^3 + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = x + y + z\text{.} \quad (*)](/media/m/e/1/d/e1dbfa1731cec780faecf1f209197a9f.png)
![x^3 + \frac{1}{4x} \geq x, \quad
y^3 + \frac{1}{4y} \geq y, \quad
z^3 + \frac{1}{4z} \geq z\text{.}](/media/m/d/f/9/df941229c325c7d220ddac630d934126.png)
Jednadžba
![(*)](/media/m/c/9/4/c94939ff7907470a22471d9318185670.png)
![x^3 = 1/(4x)](/media/m/2/2/8/228c63bfc73807b147bb89d433c0f8df.png)
![y^3 = 1/(4x)](/media/m/6/7/0/6701942ada6719b44159731d55015820.png)
![z^3=1/(4z)](/media/m/2/d/5/2d50ac8c59aae1c0701d6962d925f503.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![z](/media/m/d/2/4/d241a79f1fdd0ce9a8f3f91570ba5d62.png)
![x = y = z = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}](/media/m/7/f/9/7f9056b49ac4d66b7b1862febd5a9c5c.png)