Točno
20. svibnja 2014. 20:58 (10 godine, 1 mjesec)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Dovoljno je pokazati nejednakost za
i
. Prvo, zbog
i
vrijedi:
gdje je
. Trebamo pokazati:
Kako je LHS konveksna funkcija, dovoljno je pokazati nejednakost za rubne slučajeve, tj.
i
, a to se provjeri direktno uvrštavanjem.
Jednakost vrijedi za
, tj.
. Slučaj
nikada ne postiže jednakost originalne nejednakosti, a slučaj
se dobiva za
za
.
![\sin x > 0](/media/m/e/b/a/ebaaf5789b2aef5babbcb077d50ad5fa.png)
![\cos x > 0](/media/m/5/c/8/5c8de8313fd883595cc5987d23e22b15.png)
![\sin x \leq 1](/media/m/b/3/2/b32f6620da640cbef704f46fbbfa343c.png)
![\cos \leq 1](/media/m/d/6/a/d6a93975735c1b3a72d9112a767f7c87.png)
![\sin^5 x + \cos^5 x + \sin^4 x \leq \sin^4 x + \cos^4 x + \sin^4 x = t^2 + (1 - t)^2 + t^2 \text{,}](/media/m/0/b/c/0bcd01a926a2bfe0f17a54da2d0f851a.png)
![t \equiv \sin^2 x](/media/m/9/2/7/927965658a94f26a614ae73f5fd116f2.png)
![3t^2 - 2t +1 \leq 2 \quad \forall \, t \in [0, 1] \text{.}](/media/m/3/8/a/38ae884cdbbc8458c7f0e34f29bbab4d.png)
![t = 0](/media/m/7/9/5/795c8aacba1e23e70fd158777264afc1.png)
![t = 1](/media/m/6/0/0/6003ae1c780b3425e646c30a162461d7.png)
Jednakost vrijedi za
![t = 1](/media/m/6/0/0/6003ae1c780b3425e646c30a162461d7.png)
![\sin^2 x = 1](/media/m/0/9/8/09853a0d192b8c684a307c8f0d3b31a9.png)
![\sin x = -1](/media/m/6/2/f/62fe6c65e118a1802187e1987e4d9745.png)
![\sin x = 1](/media/m/7/9/e/79efb694c9bb03d54dec5cff67a1750e.png)
![x = \pi(2k + 1/2)](/media/m/3/3/2/3325fe983db2c2110af56ab4195937c8.png)
![k \in \mathbb{Z}](/media/m/4/6/1/4617569c6d6e574dd95e44c852cc9e9f.png)
Ocjene: (1)
Komentari:
grga, 17. siječnja 2015. 01:33