Školjka

%V0 Dovoljno je pokazati nejednakost za $\sin x > 0$ i $\cos x > 0$. Prvo, zbog $\sin x \leq 1$ i $\cos \leq 1$ vrijedi: $$ \sin^5 x + \cos^5 x + \sin^4 x \leq \sin^4 x + \cos^4 x + \sin^4 x = t^2 + (1 - t)^2 + t^2 \text{,} $$ gdje je $t \equiv \sin^2 x$. Trebamo pokazati: $$ 3t^2 - 2t +1 \leq 2 \quad \forall \, t \in [0, 1] \text{.} $$ Kako je LHS konveksna funkcija, dovoljno je pokazati nejednakost za rubne slučajeve, tj. $t = 0$ i $t = 1$, a to se provjeri direktno uvrštavanjem. Jednakost vrijedi za $t = 1$, tj. $\sin^2 x = 1$. Slučaj $\sin x = -1$ nikada ne postiže jednakost originalne nejednakosti, a slučaj $\sin x = 1$ se dobiva za $x = \pi(2k + 1/2)$ za $k \in \mathbb{Z}$.