Školjka

%V0 Uvedimo supstituciju $(a,b,c)=(x+y,y+z,z+x)$, koju možemo napraviti jer su to stranice trokuta ($x$, $y$ i $z$ su duljine dužina između vrhova trokuta i dirališta upisane kružnice). Zadani uvjet postaje $x+y+z=\frac{1}{2}$. $ \sum{\sqrt{(x+y)^2+(z+y)^2}} < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ Uzmimo vektore $\mathbf{A}=(x,z)$ i $\mathbf{B}=(y,y)$. Po nejednakosti trokuta vrijedi $|\mathbf{A}+\mathbf{B}| \le |\mathbf{A}| + |\mathbf{B}|$. $ \mathbf{A} + \mathbf{B} = (x+y, z+y)$ $ \sqrt{(x+y)^2 + (z+y)^2} \le \sqrt{x^2+z^2} + \sqrt{y^2+y^2} = \sqrt{x^2 + z^2} + \sqrt{2}y $ Koristeći trivijalnu nejednakost $\sqrt{x^2+z^2} < x+z$, dobivamo: $ \sqrt{(x+y)^2 + (z+y)^2} < x+z+\sqrt{2}y $ Zbrajajući tri takve nejednakosti, dobivamo: $ \sum{\sqrt{(x+y)^2+(z+y)^2}} < \sum{x+z+\sqrt{2}y} = (2+\sqrt{2})(x+y+z) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\blacksquare$