Točno
14. srpnja 2014. 18:55 (10 godine)
Neka je
![f(x) = x^{2002} - x^{2001} + 1](/media/m/1/6/a/16a4fb30525309b489af40531062cb33.png)
. Dokazati da su za svaki prirodan broj
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
brojevi
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
,
![f(m)](/media/m/0/f/f/0ff83359cffe1db2b53c99d5197fd294.png)
,
![f(f(m))](/media/m/f/f/c/ffc364f799eedb2851d18e9201335f87.png)
,
![f(f(f(m)))](/media/m/3/8/2/3827ac63c467fb2c8a21e64d0ce50336.png)
, ..., u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
.
%V0
Neka je $f(x) = x^{2002} - x^{2001} + 1$. Dokazati da su za svaki prirodan broj $m$ brojevi $m$, $f(m)$, $f(f(m))$, $f(f(f(m)))$, ..., u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od $1$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
%V0
$f(ak+b)=(ak+b)^{2002}-(ak+b)^{2001}+1 \equiv b^{2002}-b^{2001}+1 = f(b) \mod a$
$f(1)=1$
$f(f(...(m)...) \equiv f(f(...(0)...) = f(...(1)...) = 1 \mod m$
za svaki $m$ vrijedi $f(...(m)...)$ je relativno prost s njime, dakle svi su medjusobno relativno prosti
17. srpnja 2014. 22:12 | ikicic | Točno |