Točno
19. kolovoza 2014. 15:32 (9 godine, 11 mjeseci)
Neka su
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
i
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi
%V0
Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi. Dokaži da vrijedi $$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}\geqslant \frac{3a+2b-c}{4}.$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
![\frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c}= a +b - \frac{ab}{a+b} - \frac{bc}{b+c}](/media/m/7/a/c/7ac6ad46910c123f7d8dcf1880a074d0.png)
Početna nejednakost postaje
Lako se primjeti da je
jer je to ekvivalentno redom
![(a+b)^2 \geq 4ab](/media/m/5/7/c/57c4930dcf6d4b4ec8583d0c701d7a17.png)
![(a-b)^2 \geq 0](/media/m/b/d/c/bdc9a299621f2bdd6fad0190256cefd6.png)
Analogno se pokaže i
![\frac{1}{4}(b+c) \geq \frac{bc}{b+c}](/media/m/a/e/d/aedfeead1d8f7ffbe9b59874cdff315a.png)
.
Zbrajanjem dobivamo traženu nejednakost.
%V0
$$ \frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c}= a +b - \frac{ab}{a+b} - \frac{bc}{b+c} $$
Početna nejednakost postaje
$$ (\frac{1}{4}a + \frac{1}{4}b) + (\frac{1}{4}b + \frac{1}{4}c) \geq \frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c}$$
Lako se primjeti da je
$$ \frac{1}{4}(a + b) \geq \frac{ab}{a+b} $$
jer je to ekvivalentno redom
$$(a+b)^2 \geq 4ab$$
$$(a-b)^2 \geq 0$$
Analogno se pokaže i
$$\frac{1}{4}(b+c) \geq \frac{bc}{b+c}$$.
Zbrajanjem dobivamo traženu nejednakost.
20. kolovoza 2014. 12:03 | ikicic | Točno |