Školjka

%V0 Neka je $d$ pozitivan djeljitelj broja $n$, $\tau(n) $ njihov broj i $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ traženi oblik broja $n$. Poznato je da $$ \prod_{d \mid n}d = n ^{\frac{\tau(n)}{2}}$$ Dokaz: Promatramo slučajeve $ 2\mid \tau(n) $ i $2\nmid \tau(n)$ 1.slučaj Svaki djeljitelj broja $n$ je oblika $p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k} $ gdje je $0 \leq \beta_i \leq \alpha_i$. Dakle ima sveukupno $(\alpha_1+1)(\alpha_2 +1)\cdots (\alpha_k +1) = \tau(n) $ djeljitelja. Zbog $2 \mid \tau(n) $ sve djeljitelje možemo grupirati u dvočlane skupove $(d, \frac{n}{d} )$ a kako je umnožak $d \cdot \frac{n}{d} = n$ i takvih skupova je $\frac{\tau(n)}{2}$ zaključujemo $\prod_{d \mid n}d = n ^{\frac{\tau(n)}{2}}$ 2.slučaj Analogno $\tau(n) = (\alpha_1+1)(\alpha_2 +1)\cdots (\alpha_k +1)$ ali zbog $2 \nmid \tau(n)$ zaključujemo da je $n$ potpuni kvadrat i stoga postoji $d$ tako da je $d^2 = n $ . Sve djeljitelje osim toga grupiramo u istih $ \frac{\tau(n)-1}{2} $ dvočlanih skupova. Na kraju je $\prod_{d \mid n}d = n ^ {\frac{\tau(n)-1}{2}} \cdot \sqrt{n} = n ^{\frac{\tau(n)}{2}}$ Iz uvjeta zadatka onda redom slijedi $$n ^{\frac{\tau(n)}{2}}=n^3$$ $$\frac{\tau(n)}{2}=3$$ $$\tau(n)= 6$$ Također znamo da je $\tau(n) = (\alpha_1 +1)(\alpha_2 +1) \cdots (\alpha_k +1)$ ali $\tau(n)= 6= 1\cdot 6 = 2 \cdot 3$$ Zaključujemo da je ili $k=1$ ili $ k=2$. U prvom slučaju imamo $$ (\alpha_1 +1 )= 6 \Rightarrow \alpha_1=5 \Rightarrow \boxed{n= p_1^5}$$ a u drugom na isti način $$\boxed{n=p_1p_2^2}$$