Školjka

%V0 $\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor$ Označimo ovu sumu sa $S$. Koristimo se s tvrdnjom $ \lfloor\sqrt{k^2-1}\rfloor = \sqrt{k^2} - 1 = k- 1$ i $ \lfloor \sqrt{k^2} \rfloor = k $ Sada raspišemo nekoliko prvih pribrojnika $S$ i koristimo se sa tvrdnjom da dobijemo: $$S= 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + \cdots + (2n-1)(n-1)$$ $$S= \sum_{k=1}^n(k-1)(2k-1)$$ Pri sređivanju ovog izraza se koristimo formulama za zbroj prvih $n$ brojeva (odnosno kvadrata) i dobivamo $$\boxed{S= \dfrac{n(n-1)(4n+1)}{6}}$$