Točno
29. kolovoza 2014. 14:49 (9 godine, 10 mjeseci)
Odredi formulu za zbroj
![\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,}](/media/m/e/6/6/e666a673701276515833d0aaceba4681.png)
gdje je
![\lfloor r \rfloor](/media/m/9/3/2/932dcb100060040902777e51b13a7380.png)
najveći cijeli broj koji nije veći od
![r](/media/m/3/d/f/3df7cc5bbfb7b3948b16db0d40571068.png)
.
%V0
Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,}
$$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
![\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor](/media/m/2/6/c/26c0f489d49c722fe1eba6404216ddc2.png)
Označimo ovu sumu sa
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
.
Koristimo se s tvrdnjom
![\lfloor\sqrt{k^2-1}\rfloor = \sqrt{k^2} - 1 = k- 1](/media/m/2/0/e/20edc06c44d03ce1f6d478e1e765756d.png)
i
![\lfloor \sqrt{k^2} \rfloor = k](/media/m/f/2/f/f2f4dd26a6d34f0e6048498df4703a91.png)
Sada raspišemo nekoliko prvih pribrojnika
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
i koristimo se sa tvrdnjom da dobijemo:
![S= 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + \cdots + (2n-1)(n-1)](/media/m/9/c/e/9ce552b931970d8698c8127109d7cc65.png)
![S= \sum_{k=1}^n(k-1)(2k-1)](/media/m/6/8/9/68976875ad609f999558188d629f8f4e.png)
Pri sređivanju ovog izraza se koristimo formulama za zbroj prvih
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
brojeva (odnosno kvadrata) i dobivamo
%V0
$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor$
Označimo ovu sumu sa $S$.
Koristimo se s tvrdnjom $ \lfloor\sqrt{k^2-1}\rfloor = \sqrt{k^2} - 1 = k- 1$ i $ \lfloor \sqrt{k^2} \rfloor = k $
Sada raspišemo nekoliko prvih pribrojnika $S$ i koristimo se sa tvrdnjom da dobijemo:
$$S= 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + \cdots + (2n-1)(n-1)$$
$$S= \sum_{k=1}^n(k-1)(2k-1)$$
Pri sređivanju ovog izraza se koristimo formulama za zbroj prvih $n$ brojeva (odnosno kvadrata) i dobivamo
$$\boxed{S= \dfrac{n(n-1)(4n+1)}{6}}$$
29. kolovoza 2014. 15:11 | ikicic | Točno |