Školjka

%V0 Svaki $n$ za koji ovo vrijedi mora imati u svom rastavu na proste faktore sve proste brojeve $p<\sqrt{n}$, inače dobivamo $p \equiv p \pmod n $ a $ p^2 < n $ pa $p^2$ sigurno nije oblike $ kn+1 $. Pretpostavimo da postoji $n \geqslant 50$ za koji zadatak vrijedi. Tada je $n \geqslant 210$. Kako je $ \sqrt{210} > 14 $ znamo da $ 11 $ i $13$ dijele $ n $. Svakim takvim "popravljanjem" (tj dodavanjem novog prostog broja kojeg moramo imati) prelazimo iz $n$ u $pn$, pa korijen prelazi iz $\sqrt{n}$ u $\sqrt{pn}$ $ p>4 \Rightarrow 2\sqrt{n}< \sqrt{pn}$ a između $\sqrt{n}$ i $2\sqrt{n}$ sigurno postoji prost broj pa moramo opet "popravljati". Dakle ne postoji $n$ veći od 50. Za $2$ i $3$ provjerom dobivamo da vrijedi. Za neparni $n>4$ sigurno ne vrijedi, a za $n>9$ mora biti djeljiv s $6$. Provjerom do 9 dobivamo da vrijedi za $4$,$6$ i $8$. Provjerom brojeva $12$,$18$ i $24$ dobivamo da vrijedi za $12$ i $24$, ali ne i za $18$ (jer $25$ nije kongruentno $1$). Ako je $n>25$ mora biti djeljiv s $30$, a jedini broj manj od $50$ i veći od $25$ je $30$, za koji ne vrijedi jer $49 \equiv 19 \pmod {30}$ . Dakle jedina rješenja su $n \in \{2,3,4,6,8,12,24 \}$