Školjka

%V0 Neka je $a, b, c, d \in \mathbb{R},$ $u = a + bi,$ $v = c + di$. Tada je: $$[1 + (a + bi)(c + di)][1 + (a - bi)(c - di)] \leq [1 + (a + bi)(a - bi)][1 + (c + di)(c - di)]$$ $$[1 + ac - bd + (ad + bc)i][1 + ac - bd - (ad + bc)i] \leq (1 + a^2 + b^2)(1 + c^2 + d^2)$$ $$(1 + ac - bd)^2 - [(ad + bc)i]^2 \leq 1 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$$ $$a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2 + 2ac - 2bd + 1 + a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2 \leq 1 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$$ $$2ac - 2bd \leq a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$ $$a^2 - 2ac + c^2 + b^2 + 2bd + d^2 \geq 0$$ $$(a - c)^2 + (b + d)^2 \geq 0$$ što uvijek vrijedi za $a, b, c, d \in \mathbb{R},$ pa je to dokaz polazne nejednakosti.