Točno
1. svibnja 2012. 21:11 (12 godine, 2 mjeseci)
Za pozitivne brojeve
![a_1](/media/m/6/1/7/6173ac27c63013385bea9def9ff2b61e.png)
,
![a_2](/media/m/4/0/1/401f4cdfec59fba73ae32fa6769c72cb.png)
,
![\dots](/media/m/3/6/1/36118a223c1f6e75548277354fbabc8a.png)
,
![a_n](/media/m/1/f/f/1ff6f81c68b9c6fb726845c9ce762d7a.png)
,
![n \geq 2](/media/m/2/1/f/21fe2458de6d1580c44fd06e0fac11bb.png)
označimo
![a_1 + a_2 + \dots + a_n = s](/media/m/8/1/7/8177c2e7f3170ceca938aa7fd1d4c537.png)
. Dokažite nejednakost
%V0
Za pozitivne brojeve $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $n \geq 2$ označimo $a_1 + a_2 + \dots + a_n = s$. Dokažite nejednakost
$$\dfrac{a_1}{s - a_1} + \dfrac{a_2}{s - a_2} + \dots + \dfrac{a_n}{s - a_n} \geq \dfrac{n}{n - 1}\text{.}$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Dodamo li svakom izrazu s lijeve strane 1, pribrojnici se transformiraju na sljedeći način:
![\dfrac{a_i}{s-a_i}+1= \dfrac{a_i + s - a_i}{s - a_i}= \dfrac{s}{s-a_i}](/media/m/3/4/f/34ff8dd25f2d97ba5dca41cd3537111c.png)
.
Stoga nejednakost postaje ekvivalentna sljedećoj:
![\dfrac{s}{s-a_1} + \dfrac{s}{s-a_2} + \ldots + \dfrac{s}{s-a_n} \geq \dfrac{n^2}{n-1}](/media/m/d/7/5/d755ba9ef561c08cd285d153971a391c.png)
,
što vrijedi zbog A-H nejednakosti.
%V0
Dodamo li svakom izrazu s lijeve strane 1, pribrojnici se transformiraju na sljedeći način:
$\dfrac{a_i}{s-a_i}+1= \dfrac{a_i + s - a_i}{s - a_i}= \dfrac{s}{s-a_i} $.
Stoga nejednakost postaje ekvivalentna sljedećoj:
$\dfrac{s}{s-a_1} + \dfrac{s}{s-a_2} + \ldots + \dfrac{s}{s-a_n} \geq \dfrac{n^2}{n-1}$,
što vrijedi zbog A-H nejednakosti.
1. svibnja 2012. 22:50 | ikicic | Točno |