Školjka

%V0 Pretpostavljam da je pitanje može li se svaki niz realnih brojeva rastaviti na konačno mnogo monotonih nizova. Nije moguće. Promatrajmo sljedeći niz: $1, 3, 2, 6, 5, 4, 10, 9, 8, 7, \quad \ldots, \quad k(k+1)/2, k(k+1)/2 - 1, \ \ldots,\ k(k-1)/2 + 1, \quad \ldots$ $(*)$ Odnosno, sastavimo niz izvrtanjem i spajanjem konačnih nizova $(1)$, $(2, 3)$, $(4, 5, 6)$... $(**)$ Pretpostavimo da postoji rješenje, tj. traženi konačan skup od $N$ rastućih i $M$ padajućih nizova. Svaki padajući niz može imati samo konačno mnogo elemenata (čini podniz samo jednog sastavnog niza $(**)$). Dakle, rastući nizovi moraju pokriti skoro sve elemente početnog niza $(*)$. Promotrimo bilo koji okrenuti niz $(**)$ s $k > N$ elemenata, takav da ne dijeli niti jedan element s padajućim nizovima (to je moguće jer je $M$ konačan). Svaki od $N$ rastućih nizova može pokriti samo $1$ element od tog $k$-članog niza (jer je padajuć). Prema tome, ostaju neki nepokriveni elementi, pa ne postoji rješenje.