Točno
22. svibnja 2012. 13:20 (12 godine, 1 mjesec)
Ako je
![x + y + z = 6](/media/m/a/2/b/a2bcac2ddde7f63d2655b3b05978590f.png)
,
![x,\,y,\,z \geqslant 0](/media/m/d/0/3/d038bfbe8f271651906604e40cacb0e0.png)
, dokažite da je onda
![x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 12](/media/m/c/7/a/c7ac7db50578a2623cabe11182698521.png)
.
%V0
Ako je $x + y + z = 6$, $x,\,y,\,z \geqslant 0$, dokažite da je onda $x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 12$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Iz
![x + y + z = 6](/media/m/a/2/b/a2bcac2ddde7f63d2655b3b05978590f.png)
kvadriranjem dobijemo
![x^2 + y^2 + z^2 + 2 \left(xy + yz + zx\right) = 36](/media/m/7/9/8/798998cd2ddd407a3078752587d43b59.png)
, odnosno
![x^2 + y^2 + z^2 = 36 - 2 \left(xy + yz + zx\right) \text{.}](/media/m/f/e/a/fea0179cf82596e8afbf4f576b4cc8a6.png)
Kako je
![\left(x - y\right)^2 \geqslant 0](/media/m/1/2/d/12dbc64a0d85d7a454312bf64dca9a18.png)
ekvivalentno
![x^2 + y^2 \geqslant 2xy](/media/m/d/f/7/df7f479f3eb94c544fcdb7e8aaaebed5.png)
, a analogno vrijedi i
![y^2 + z^2 \geqslant 2yz](/media/m/d/5/f/d5f47d3fd8ed4aa6a7694d058ac2dead.png)
te
![z^2 + x^2 \geqslant 2zx](/media/m/e/3/2/e324aead9017884e2afa1c73a30a2c50.png)
, slijedi
![2 \left(x^2 + y^2 + z^2\right) \geqslant 2 \left(xy + yz + zx\right) \text{.}](/media/m/3/c/9/3c9643e00835eb713cbbe024a6331ca1.png)
Sada je
![x^2 + y^2 + z^2 = 36 - 2 \left(xy + yz + zx\right) \geqslant 36 - 2 \left(x^2 + y^2 + z^2\right)](/media/m/7/9/a/79a1cc2bd613d0bb2474d2f8ed223281.png)
, odakle konačno dobivamo:
![x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 12 \text{.}](/media/m/e/0/7/e07b30b8614e5c15d792e9f846abc5eb.png)
Jednakost vrijedi ako i samo ako je
![x - y = y - z = z - x = 0](/media/m/6/1/7/617a55695f09ffa276dc5fc76fc5147f.png)
, odnosno
![x = y = z = 2](/media/m/e/8/8/e889c53703ececf4c9331b9040052914.png)
.
%V0
Iz $x + y + z = 6$ kvadriranjem dobijemo $x^2 + y^2 + z^2 + 2 \left(xy + yz + zx\right) = 36$, odnosno $$x^2 + y^2 + z^2 = 36 - 2 \left(xy + yz + zx\right) \text{.}$$
Kako je $\left(x - y\right)^2 \geqslant 0$ ekvivalentno $x^2 + y^2 \geqslant 2xy$, a analogno vrijedi i $y^2 + z^2 \geqslant 2yz$ te $z^2 + x^2 \geqslant 2zx$, slijedi $$2 \left(x^2 + y^2 + z^2\right) \geqslant 2 \left(xy + yz + zx\right) \text{.}$$
Sada je $x^2 + y^2 + z^2 = 36 - 2 \left(xy + yz + zx\right) \geqslant 36 - 2 \left(x^2 + y^2 + z^2\right)$, odakle konačno dobivamo: $$x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 12 \text{.}$$
Jednakost vrijedi ako i samo ako je $x - y = y - z = z - x = 0$, odnosno $x = y = z = 2$.
22. svibnja 2012. 18:12 | ikicic | Točno |