Školjka

%V0 Iz $x + y + z = 6$ kvadriranjem dobijemo $x^2 + y^2 + z^2 + 2 \left(xy + yz + zx\right) = 36$, odnosno $$x^2 + y^2 + z^2 = 36 - 2 \left(xy + yz + zx\right) \text{.}$$ Kako je $\left(x - y\right)^2 \geqslant 0$ ekvivalentno $x^2 + y^2 \geqslant 2xy$, a analogno vrijedi i $y^2 + z^2 \geqslant 2yz$ te $z^2 + x^2 \geqslant 2zx$, slijedi $$2 \left(x^2 + y^2 + z^2\right) \geqslant 2 \left(xy + yz + zx\right) \text{.}$$ Sada je $x^2 + y^2 + z^2 = 36 - 2 \left(xy + yz + zx\right) \geqslant 36 - 2 \left(x^2 + y^2 + z^2\right)$, odakle konačno dobivamo: $$x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 12 \text{.}$$ Jednakost vrijedi ako i samo ako je $x - y = y - z = z - x = 0$, odnosno $x = y = z = 2$.