Školjka

%V0 [i]Zadatak smatram izrazito teškim za srednju školu jer nisam uspio naći rješenje koje ne zahtijeva poznavanje diferencijalnog računa.[/i] Pramen pravaca kroz točku $P$ određen je jednadžbom $y = k\left(x - 2\right) + 5$, a sjecišta $Q$ zadane hiperbole i tih pravaca su rješenja sustava jednadžbi $$$\begin{gather*}y = k\left(x - 2\right) + 5\\3x^2 - 4y^2 = 12 \text{.}\end{gather*}$$$ Jasno je da tražimo $k$ za koji $\left\vert PQ \right\vert$ postiže najmanju vrijednost. S obzirom da i ${\left\vert PQ \right\vert}^2$ postiže najmanju vrijednost za isti $k$ dovoljno je promatrati $$$\begin{align*}{\left\vert PQ \right\vert}^2 &= \left(x_Q - 2\right)^2 + \left(y_Q - 5\right)^2\\ &= \left(x_Q - 2\right)^2 + k^2 \left(x_Q - 2\right)^2\\ &= \left(k^2 + 1\right) \left(x_Q - 2\right)^2 \text{.}\end{align*}$$$ Rješavajući gore navedeni sustav jednadžbi dolazimo do $$\left(3 - 4k^2\right)x_Q^2 + 8\left(2k - 5\right)kx_Q - 16\left(k^2 - 5k + 7\right) = 0 \text{.}$$ Za $4k^2 = 3$, odnosno $k_{1,\,2} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, imamo $${x_Q}_{1,\,2} = \frac{57 \pm 125 \sqrt{3}}{66} \text{,}$$ odakle je ${\left\vert PQ \right\vert}^2 = \dfrac{4375}{2904} \left(14 \pm 5\sqrt{3}\right)$, odnosno ${\left\vert PQ \right\vert}^2 \approx 8.04456$ ili ${\left\vert PQ \right\vert}^2 \approx 34.13864$. Za $4k^2 \neq 3$ dobijemo $${x_Q}_{3,\,4} = \frac{-8k^2 + 20k \pm 4\sqrt{3}\sqrt{7 - 5k}}{3 - 4k^2}$$ pa je $${\left\vert PQ \right\vert}^2 = \frac{k^2 + 1}{\left(3 - 4k^2\right)^2} \left(20k - 6 \pm 4\sqrt{3}\sqrt{7 - 5k}\right)^2 \text{.}$$ [i]U ovom trenutku možemo odabrati mukotrpno deriviranje složene funkcije ili pomoć nekog alata, npr. Wolfram Alphe.[/i] Ove dvije funkcije postižu minimume $8$ (za $k = -1$) i približno $33.833$ (za $k \approx 0.75475$): 1) http://www.wolframalpha.com/input/?i=minimum+%28k%5E2+%2B+1%29+%2F+%283+-+4k%5E2%29%5E2+*+%2820k+-+6+%2B+4Sqrt%5B3%5DSqrt%5B7+-+5k%5D%29%5E2 2) http://www.wolframalpha.com/input/?i=minimum+%28k%5E2+%2B+1%29+%2F+%283+-+4k%5E2%29%5E2+*+%2820k+-+6+-+4Sqrt%5B3%5DSqrt%5B7+-+5k%5D%29%5E2. Sada je jasno da je točki $P$ najbliža točka $Q\!\left(4,\,3\right)$ (odgovara slučaju $k = -1$) i da je njihova udaljenost $2\sqrt{2}$.