Školjka

%V0 Uvidimo da broj znamenaka nekog prirodnog broja $a$ u nekom brojevnom sustavu baze $b>1$ je $\lfloor\log _b a\rfloor+1$ $\log _b a = k + x$ gdje je $k$ cijeli broj a $x$ decimalni ostatak u intervalu $[0, 1\rangle$ vidljivo je da $\lfloor\log _b a\rfloor = \log _ba - x$ $m + n=$ $= \lfloor \log _{10} 2^{1997}\rfloor + 1 + \lfloor \log _{10} 5^{1997}\rfloor + 1$ $= \log _{10}2^{1997} - x_1 + \log _{10}5^{1997} - x_2 +2$ $= \log _{10}10^{1997} - (x_1 + x_2) +2$ Budući da je zbroj znamenaka prirodan broj, a $\log _{10}10^{1997}$ i $2$ cijeli brojevi, $x_1+x_2$ mora biti cijeli broj. Budući da $x_1, x_2 < 1$, $x_1 + x_2$ može biti $1$ ili $0$. Budući da $2^{1997}$ i $5^{1997}$ nisu potencije broja $10$, $x_1, x_2 > 0$ pa $x_1 + x_2$ može biti samo $1$. $\log _{10}10^{1997} - 1 + 2 = 1997 + 1= 1998$ $m + n = 1998$