Rješenja zadatka "Kamp '13 - Angle Chasing 2." korisnika "PatricijaVelecki"

Točno

29. svibnja 2015. 20:38 (9 godine, 6 mjeseci)

Korisnik: PatricijaVelecki
Zadatak: Kamp '13 - Angle Chasing 2. (Sakrij tekst zadatka)

Nad stranicama $BC$ i $CD$ kvadrata $ABCD$ konstruirani su jednakostranični trokuti $\triangle BPC$ i $\triangle DCQ$ . Dokažite da je trokut $\triangle APQ$ jednakostraničan.

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Vidimo da stranica AQ je ujedno i stranica trokuta $\triangle$ DAQ
Trokut $\triangle$ DAQ je jednakokračan jer su mu stranice DA i QD jednake duljine što proizlazi iz toga da su stranice jednakostraničnih trokutova $\triangle$ BPC i $\triangle$ DCQ jednake stranicama kvadrata jer su jednakostranični trokutovi konstruirani nad stranicama kvadrata a stranica kvadrata je jedna od svih jednakih stranica tih trokutova.
Kutovi nasuprot jednakih stranica jednakokračnog trokuta su jednaki.
Kut nasuprot stranice AQ je zbroj veličina kutova $\angle$ CDA i $\angle$ QDC .Kako su kutovi jednakostraničnih trokutova $\frac{180} {3}$ =60°,zaključujemo da je i kut $\angle$ QDC veličine 60°,a kutovi kvadrata su $\frac{360} {4}$ =90°,pa je tako kut $\angle$ ADC također veličine 90°.To bi značilo da je kut nasuprot stranice AQ jednak 90°+60°=150° a svaki od kutova $\angle$ DAQ i $\angle$ AQD imaju veličinu $\frac{180-150} {2}$ = $\frac{30} {2}$ =15°
Trokut $\triangle$ ABP je jednak trokutu $\triangle$ DAQ zbog duljina stranica AB i BP.
Kut $\angle$ DAB kao kut kvadrata ima 90°,a kako je kut $\angle$ DAB= $\angle$ DAQ+ $\angle$ QAP+ $\angle$ PAB vrijedi
90°=2*15°+ $\angle$ QAP
90°=30°+ $\angle$ QAP
$\angle$ QAP=90°-30°
$\angle$ QAP=60°
Kut $\angle$ QAP je jedan od kutova trokuta $\triangle$ APQ stoga je zbroj kutova $\angle$ PQA i $\angle$ APQ=180°-60°=120°

Kako bismo izračunali duljinu stranice PQ možemo se koristiti trokutom $\triangle$ CPQ koji je jednak trokutovima $\triangle$ ABP i DAQ zbog duljina stranica QC i CP.Kako su one jednake a i kutovi(to možemo izračunati jer je veličina kuta $\angle$ CPQ=360°-(90°+60°*2)=360°-(90°+120°)=360°-210°=150°,a to je jednako kao i veličina kuta $\angle$ QAD) to znači da je i stranica PQ jednake duljine duljinama stranica QA i AP iz čega zaključujem da je trokut $\triangle$ APQ jednakostraničan što potvrđuje i veličina kuta $\angle$ QAP koja je 60°,a kako sam još prije utvrdila da su stranice QA i AP jednake duljine,bilo je moguće i izračunati kutove $\angle$ PQA i $\angle$ APQ kao i kutove bilo kojeg jednakokračnog(a jednakostraničan je kao ''vrha'' jednakokračnog)trokuta $\triangle$ PQA= $\triangle$ APQ= $\frac{180-60} {2}$ = $\frac{120} {2}$ =60°

%V0 Vidimo da stranica [i]AQ[/i] je ujedno i stranica trokuta $\triangle$[i]DAQ[/i] Trokut $\triangle$[i]DAQ[/i] je jednakokračan jer su mu stranice [i]DA[/i] i [i]QD[/i] jednake duljine što proizlazi iz toga da su stranice jednakostraničnih trokutova $\triangle$ [i]BPC[/i] i $\triangle$[i]DCQ[/i] jednake stranicama kvadrata jer su jednakostranični trokutovi konstruirani nad stranicama kvadrata a stranica kvadrata je jedna od svih jednakih stranica tih trokutova. Kutovi nasuprot jednakih stranica jednakokračnog trokuta su jednaki. Kut nasuprot stranice [i]AQ[/i] je zbroj veličina kutova $\angle$[i]CDA[/i] i $\angle$ [i]QDC[/i] .Kako su kutovi jednakostraničnih trokutova $ \frac{180} {3} $ =60°,zaključujemo da je i kut $\angle$[i]QDC[/i] veličine 60°,a kutovi kvadrata su$ \frac{360} {4} $ =90°,pa je tako kut $\angle$[i]ADC[/i] također veličine 90°.To bi značilo da je kut nasuprot stranice [i]AQ[/i] jednak 90°+60°=150° a svaki od kutova $\angle$ [i]DAQ[/i] i $\angle$ [i]AQD[/i] imaju veličinu $ \frac{180-150} {2} $=$ \frac{30} {2} $ =15° Trokut $\triangle$[i]ABP[/i] je jednak trokutu $\triangle$[i]DAQ[/i] zbog duljina stranica [i]AB[/i] i [i]BP[/i]. Kut $\angle$[i]DAB[/i] kao kut kvadrata ima 90°,a kako je kut $\angle$[i]DAB[/i]= $\angle$ [i]DAQ[/i]+ $\angle$ [i]QAP[/i]+$\angle$ [i]PAB[/i] vrijedi 90°=2*15°+ $\angle$[i]QAP[/i] 90°=30°+ $\angle$[i]QAP[/i] $\angle$[i]QAP[/i]=90°-30° [b] $\angle$[i]QAP[/i]=60° [/b] Kut $\angle$[i]QAP[/i] je jedan od kutova trokuta $\triangle$[i]APQ[/i] stoga je zbroj kutova $\angle$[i]PQA[/i] i $\angle$[i]APQ[/i]=180°-60°=120° Kako bismo izračunali duljinu stranice [i]PQ[/i] možemo se koristiti trokutom $\triangle$[i]CPQ[/i] koji je jednak trokutovima $\triangle$[i]ABP[/i] i [i]DAQ[/i] zbog duljina stranica [i]QC[/i] i [i]CP[/i].Kako su one jednake a i kutovi(to možemo izračunati jer je veličina kuta $\angle$[i]CPQ[/i]=360°-(90°+60°*2)=360°-(90°+120°)=360°-210°=150°,a to je jednako kao i veličina kuta $\angle$[i]QAD[/i]) to znači da je i stranica [i]PQ[/i] jednake duljine duljinama stranica [i]QA[/i] i [i]AP[/i] iz čega zaključujem da je trokut $\triangle$[i]APQ[/i] jednakostraničan što potvrđuje i veličina kuta $\angle$[i]QAP[/i] koja je 60°,a kako sam još prije utvrdila da su stranice [i]QA[/i] i [i]AP[/i] jednake duljine,bilo je moguće i izračunati kutove $\angle$[i]PQA[/i] i $\angle$ [i]APQ[/i] kao i kutove bilo kojeg jednakokračnog(a jednakostraničan je kao ''vrha'' jednakokračnog)trokuta $\triangle$ [i]PQA[/i]= $\triangle$ [i]APQ[/i]=$ \frac{180-60} {2} $ =$ \frac{120} {2} $ =60°

Ocjene: (1)

Komentari:

PatricijaVelecki, 30. svibnja 2015. 14:02

Aha,a to je zato što sam poznata po tom da kompliciram i najjednostavnije stvari(jer uvijek pokušam sve na onoliko načina koliko se mogu sjetiti i to posebno nakon ovogodišnjeg županijskog natjecanja) :)

Nije greška. Samo kažem da si mogla puno prije dovrišiti dokaz.
Taman dokažeš sve što ti treba, a onda skreneš i napraviš sve ponovno na drugi način :P

Hvala na komentaru,ali nije mi baš potpuno jasno kako su to dva različita dokaza?
Sad me to zanima jer se bojim da ću u nekom drugom zadatku napraviti veću grešku ili pak istu

Zadnja promjena: PatricijaVelecki, 30. svibnja 2015. 14:02

ikicic, 30. svibnja 2015. 13:44

Nije greška. Samo kažem da si mogla puno prije dovrišiti dokaz.
Taman dokažeš sve što ti treba, a onda skreneš i napraviš sve ponovno na drugi način :P

Hvala na komentaru,ali nije mi baš potpuno jasno kako su to dva različita dokaza?
Sad me to zanima jer se bojim da ću u nekom drugom zadatku napraviti veću grešku ili pak istu

PatricijaVelecki, 30. svibnja 2015. 11:14

Hvala na komentaru,ali nije mi baš potpuno jasno kako su to dva različita dokaza?
Sad me to zanima jer se bojim da ću u nekom drugom zadatku napraviti veću grešku ili pak istu

Točno je. (ne ispravljam geometriju inače jer osim jednostavnijih stvari ju ne znam baš)

Kratki komentar. Ti si ovdje navela praktički dva različita dokaza.
Na kraju prvog paragrafa kažeš da je $\angle PAQ = 60^\circ$ , što uz $|AP| = |AQ|$ automatski znači da je trokut $APQ$ jednakostraničan.
U drugom paragrafu pak praktički pokažeš da su trokuti $ABP$ , $ADQ$ i $CPQ$ sukladni, što opet znači da je trokut $APQ$ jednakostraničan.

ikicic, 30. svibnja 2015. 10:50

Zadnja promjena: ikicic, 30. svibnja 2015. 10:50

PatricijaVelecki, 30. svibnja 2015. 07:08

No je li moje rješenje točno?

Preporučujem da koristiš $\angle DAQ$, a ne $\angle$ [i]DAQ[i], dakle $\angle DAQ$ umjesto $\angle$ DAQ.
Općenito bi sve matematičke stvari bilo dobro staviti u $ $.

Primjer:
$\angle APQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$
$\angle APQ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

PatricijaVelecki, 30. svibnja 2015. 06:58

hvala

ikicic, 29. svibnja 2015. 22:26

Zadnja promjena: ikicic, 29. svibnja 2015. 22:28

matsimic, 29. svibnja 2015. 18:57

.Da bi napisala $\triangle$ moraš oko toga staviti dolar znakove, što vrijedi i za razlomke.

Zadnja promjena: matsimic, 29. svibnja 2015. 18:59

Školjka

Ocjene: (1)

Komentari: