Točno
4. lipnja 2015. 13:43 (9 godine, 1 mjesec)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Niz sadržava sve brojeve oblika
veće od
, pa da bi sadržavao beskonačno mnogo prostih brojeva mora biti beskonačno mnogo prostih brojeva oblika
.
Pretpostavimo suprotno: postoji konačan broj prostih brojeva oblika
. Označimo njihov umnožak
.
Promatrajmo dva slučaja:
I. broj
prostih brojeva oblika
je paran
U tom slučaju je
oblika
.
je kongruentan
i nije djeljiv niti s jednim od brojeva
. Da bi broj bio oblika
, neparan broj njegovih prostih faktora mora biti oblika
a budući da nije djeljiv niti s jednim brojem s "popisa" mora postojati još neki prosti broj oblika
što vodi do kontradikcije u slučaju I.
II. broj
prostih brojeva
je neparan
pa promatramo
.
On nije djeljiv niti s jednim od brojeva sa "popisa" što vodi do kontradikcije i u slučaju II.
Prema tome, mora postojati beskonačan broj prostih brojeva oblika
i zadani niz će sadržavati sve veće od
.
![4k+3](/media/m/7/2/6/72691ea835787862a4b4171ba0bcecb5.png)
![1994](/media/m/2/d/8/2d8f4515607b9a9a2c705a669f7318db.png)
![4k+3](/media/m/7/2/6/72691ea835787862a4b4171ba0bcecb5.png)
Pretpostavimo suprotno: postoji konačan broj prostih brojeva oblika
![4k+3](/media/m/7/2/6/72691ea835787862a4b4171ba0bcecb5.png)
![p_1p_2...p_n=x](/media/m/0/5/1/0519c2de0567262672bc27326c04db36.png)
Promatrajmo dva slučaja:
I. broj
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![4k+3](/media/m/7/2/6/72691ea835787862a4b4171ba0bcecb5.png)
U tom slučaju je
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![4k+1](/media/m/c/5/e/c5e9f0b877a5b662bfdc6126cb7f3341.png)
![x+2](/media/m/2/f/2/2f284faf7502063c7c185e1af9062d80.png)
![3\mod 4](/media/m/a/c/3/ac347b9f20f822ea7b79be8853fec5f9.png)
![p_1, p_2... p_n](/media/m/6/9/a/69aceb51670f7b2edda999c7e86390e4.png)
![4k+3](/media/m/7/2/6/72691ea835787862a4b4171ba0bcecb5.png)
![4k+3](/media/m/7/2/6/72691ea835787862a4b4171ba0bcecb5.png)
![4k+3](/media/m/7/2/6/72691ea835787862a4b4171ba0bcecb5.png)
II. broj
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![4k+3](/media/m/7/2/6/72691ea835787862a4b4171ba0bcecb5.png)
![x \equiv 3\mod 4](/media/m/1/b/9/1b99d3f9b48324e692835e3c22eccc03.png)
![x+4](/media/m/d/4/2/d42c72b79491a67710734cf61f3a1538.png)
On nije djeljiv niti s jednim od brojeva sa "popisa" što vodi do kontradikcije i u slučaju II.
Prema tome, mora postojati beskonačan broj prostih brojeva oblika
![4k+3](/media/m/7/2/6/72691ea835787862a4b4171ba0bcecb5.png)
![1994](/media/m/2/d/8/2d8f4515607b9a9a2c705a669f7318db.png)
Ocjene: (1)
Komentari:
matsimic, 7. lipnja 2015. 22:58
ikicic, 7. lipnja 2015. 22:14
Zanimljiv naziv xD Cak me i ne cudi, ti svi problemi su vrlo jednostavni za izreci i moze ih bilo tko sjetiti, ali su izgleda brutalno teski za dokazati :)
Isto vrijedi i za manje poznate vrste kao sexy primes i Wagstaff primes te za bilo koji prime gap
gdje je
po Polignacu. Zanimljivo kako je srednjoškolski zadatak povezan s većim problemima moderne matematike.
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![n=4k+2](/media/m/0/f/0/0f0061b740de428e456ac83dda766fdd.png)
ikicic, 4. lipnja 2015. 20:35
ikicic, 4. lipnja 2015. 20:17
matsimic, 4. lipnja 2015. 20:01
ikicic, 4. lipnja 2015. 14:51
matsimic, 4. lipnja 2015. 13:42
ikicic, 4. lipnja 2015. 11:18