Točno
16. lipnja 2015. 16:44 (9 godine, 2 mjeseci)
Odredi sve proste brojeve
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
za koje je
![2^p+p^2](/media/m/0/c/4/0c49769e59a9ec84f925c41ffbf29e45.png)
također prost broj.
%V0
Odredi sve proste brojeve $p$ za koje je $2^p+p^2$ također prost broj.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Ako je
![p=2](/media/m/8/5/e/85e2312db0b0eefbc4938ddaa6a4a005.png)
broj je
![8](/media/m/3/d/2/3d2c45264dbff498f9bcb16af5f83881.png)
te nije prost.
Inače,
![p \equiv 1\mod 2](/media/m/3/d/c/3dc8d92eca63f65610b80529ef9199ed.png)
Prema tome:
![2^p \equiv 2\mod 3](/media/m/c/e/9/ce9b1d33a40a1833d3c562bb653f4ca9.png)
Ako je
![p=3](/media/m/e/3/a/e3a64f4ec64a0b9a04312a649bdc3fd3.png)
broj je
![17](/media/m/8/5/9/859a777e1bd74d5e33308f873f0bf9c1.png)
, prost je te je
![p=3](/media/m/e/3/a/e3a64f4ec64a0b9a04312a649bdc3fd3.png)
rješenje.
Inače:
Ako je
![p = 3k+1](/media/m/1/c/1/1c1be970392e715c6acfc62ca37bc0a5.png)
:
![p^2\equiv 1\mod 3](/media/m/a/0/4/a04ff03694ea21105e90e442aea304c8.png)
Ako je
![p=3k+2](/media/m/c/5/8/c58b555d362a083e2d2908c86ccf1d68.png)
:
![p^2\equiv 1\mod 3](/media/m/a/0/4/a04ff03694ea21105e90e442aea304c8.png)
U oba slučaja,
![2^p+p^2\equiv 0\mod 3](/media/m/7/d/c/7dce1e3440e00d1386980ffad72cea72.png)
te nije prost, pa je
![p=3](/media/m/e/3/a/e3a64f4ec64a0b9a04312a649bdc3fd3.png)
jedino rješenje.
%V0
Ako je $p=2$ broj je $8$ te nije prost.
Inače, $p \equiv 1\mod 2$
Prema tome:
$2^p \equiv 2\mod 3$
Ako je $p=3$ broj je $17$, prost je te je $p=3$ rješenje.
Inače:
Ako je $p = 3k+1$:
$p^2\equiv 1\mod 3$
Ako je $p=3k+2$:
$p^2\equiv 1\mod 3$
U oba slučaja, $2^p+p^2\equiv 0\mod 3$ te nije prost, pa je $p=3$ jedino rješenje.
16. lipnja 2015. 17:25 | ikicic | Točno |