Školjka

%V0 $a)$ Označimo sa $S$ skup ostataka brojeva $x^2, y^2, z^2$ pri dijeljenju sa $5$. Elementi skupa mogu biti samo $0, 1, 4$ te zbroj svaka dva elementa u skupu smije biti samo jedan od tih brojeva. Izostavljamo skupove koji sadrže $0$, jer je za njih očito $xyz \equiv 0 \mod{5}$. Izostavljamo skupove koji dvaput sadrže $1$ ili dvaput sadrže $4$ jer $1+1\equiv 2 \mod{5}$ a $4+4 \equiv 3 \mod{5}$ što nije dozvoljeno. Ups, više nemamo skupova. $b)$ Označimo sa $S$ skup ostataka brojeva $x^2, y^2, z^2$ pri dijeljenju sa $11$. Elementi skupa mogu biti samo $0, 1, 4, 3, 9, 5$ te zbroj svaka dva elementa u skupu smije biti samo jedan od tih brojeva. Izostavljamo skupove koji sadrže $0$, jer je za njih očito $xyz \equiv 0 \mod{11}$. Izostavljamo skupove koji dvaput sadrže $1, 4, 9, 5, 3$, jer ti zbrojevi ne daju lijep ostatak pri dijeljenju s $11$. Skupovi smiju sadržavati samo zbrojeve $1+4, 1+3, 4+5, 9+3$, nikakve druge, pa ne možemo sastaviti poželjan skup. Budući da su umnošci elemenata svih poželjnih skupova djeljivi i sa $5$ i sa $11$, svi su $xyz$ djeljivi s $55$.