Rješenja zadatka "MEMO 2007 ekipno problem 7" korisnika "Veki"

Točno

17. kolovoza 2012. 22:35 (12 godine, 6 mjeseci)

Korisnik: Veki
Zadatak: MEMO 2007 ekipno problem 7 (Sakrij tekst zadatka)

A tetrahedron is called a MEMO-tetrahedron if all six sidelengths are different positive integers where one of them is $2$ and one of them is $3$ . Let $l(T)$ be the sum of the sidelengths of the tetrahedron $T$ .
(a) Find all positive integers $n$ so that there exists a MEMO-Tetrahedron $T$ with $l(T)=n$ .
(b) How many pairwise non-congruent MEMO-tetrahedrons $T$ satisfying $l(T)=2007$ exist? Two tetrahedrons are said to be non-congruent if one cannot be obtained from the other by a composition of reflections in planes, translations and rotations. (It is not neccessary to prove that the tetrahedrons are not degenerate, i.e. that they have a positive volume).

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Promatrati cemo dva slucaja, kada su stranice duljina $2$ I $3$ u istome trokutu, i kada nisu.

U prvom slucaju imamo trokut sa stranicama $2$ i $3$ pa iz nejednakosti trokuta dobivamo da je treca stranica (nazovimo je $a$ )
$a<2+3 \newline a<5 \newline a+2>3 \newline a>1$
dakle $a=4$
Neka je najmanja od preostale tri stranice tetraedra $x$ . Postoje tri mogucnosti iz kojega ce vrha $x$ izlaziti.

1. Ako postoji vrh sa stranicama $x,2,3$ .
U trokutu sa stranicama $x$ i $2$ je treca stranica $x+1$ .
U trokutu sa stranicama $x$ i $3$ treca stranica zato mora biti $x+2$ .
Dakle takvi tetraedri mogu imati $l$ jedino oblika $3x+12$

2.Ako postoji vrh sa stranicama $x,2,4$
U trokutu sa stranicama $x$ i $2$ zadnja je stranica $x+1$ .
U trokutu sa stranicama $x$ i $3$ posaljednja stranica sada moze biti $x+2$ ili $x+3$ .
Dakle takvi tetraedri mogu imati $l$ oblika $3x+12$ ili $3x+13$ .

3. Ako postoji vrh $x,3,4$
U trokutu sa stranicama $x$ i $3$ zadnja je stranica ili $x+1$ ili $x+2$ .
Neka je posljednja stranica u tetraedru $k$ . U trokutu imamo $2$ i $k$ , pa znamo da
$x+1 \Rightarrow k=x+2 \newline x+2 \Rightarrow k=x+3$ ili $k=x+1$ .
Dakle takvi tetraedri mogu imati $l$ oblika $3x+14$ ili oblika $3x+12$ na dva nekongruentna nacina.

Drugi slucaj:stranice nisu u istom trokutu.
Neka je od preostalih stranica najmanja $x$ . U trokutu sa stranicama $x$ i $2$ , posljednja stranica mora biti $x+1$ zbog nejednakosti trokuta. U trokutu sa stranicama $x$ i $3$ , posljednja stranica mora biti $x+2$ , jer nemoze biti $x+1$ zbog uvjeta da su stranice razlicite. U trokutu sa stranicama $x+1$ i $3$ zadnja je stranica $x+3$ . Svi tetraedri u kojima $2$ i $3$ nisu u istom trokutu moraju biti ovoga oblika.
$l$ takvog tetraedra je oblika $4x + 11$ , a broj $2007$ moguce je prikayati kao $4x+11$ . Najmanji $l$ kojeg ovakav tetraedar moze poprimiti poprima se za $x=4$ i jedank je $27$ .

$(a)$ U prvom slucaju najmanji mogci $l$ postize se za $x=5$ i jednak je $27$ . Svi brojevi veci ili jednaki $27$ mogu se postici jer su zapisivi u obliku $3x+12$ ili $3x+13$ ili $3x+14$ .

$(b)$ U prvom slucaju imamo 4 nekongruentna nacina na koje mozemo napraviti tetraedar $T$ takav da $l(T)=2007$ , a moguce je i na jedan nacin iz drugog slucaja pa ukupno postoji $5$ takvih nekongruentnih tetraedara.

%V0 Promatrati cemo dva slucaja, kada su stranice duljina $2$ I $3$ u istome trokutu, i kada nisu. U prvom slucaju imamo trokut sa stranicama $2$ i $3$ pa iz nejednakosti trokuta dobivamo da je treca stranica (nazovimo je $a$) $a<2+3 \newline a<5 \newline a+2>3 \newline a>1$ dakle $a=4$ Neka je najmanja od preostale tri stranice tetraedra $x$. Postoje tri mogucnosti iz kojega ce vrha $x$ izlaziti. 1. Ako postoji vrh sa stranicama $x,2,3$. U trokutu sa stranicama $x$ i $2$ je treca stranica $x+1$. U trokutu sa stranicama $x$ i $3$ treca stranica zato mora biti $x+2$. Dakle takvi tetraedri mogu imati $l$ jedino oblika $3x+12$ 2.Ako postoji vrh sa stranicama $x,2,4$ U trokutu sa stranicama $x$ i $2$ zadnja je stranica $x+1$. U trokutu sa stranicama $x$ i $3$ posaljednja stranica sada moze biti $x+2$ ili $x+3$. Dakle takvi tetraedri mogu imati $l$ oblika $3x+12$ ili $3x+13$. 3. Ako postoji vrh $x,3,4$ U trokutu sa stranicama $x$ i $3$ zadnja je stranica ili $x+1$ ili $x+2$. Neka je posljednja stranica u tetraedru $k$. U trokutu imamo $2$ i $k$, pa znamo da $x+1 \Rightarrow k=x+2 \newline x+2 \Rightarrow k=x+3$ ili $k=x+1$. Dakle takvi tetraedri mogu imati $l$ oblika $3x+14$ ili oblika $3x+12$ na dva nekongruentna nacina. Drugi slucaj:stranice nisu u istom trokutu. Neka je od preostalih stranica najmanja $x$. U trokutu sa stranicama $x$ i $2$, posljednja stranica mora biti $x+1$ zbog nejednakosti trokuta. U trokutu sa stranicama $x$ i $3$, posljednja stranica mora biti $x+2$, jer nemoze biti $x+1$ zbog uvjeta da su stranice razlicite. U trokutu sa stranicama $x+1$ i $3$ zadnja je stranica $x+3$. Svi tetraedri u kojima $2$ i $3$ nisu u istom trokutu moraju biti ovoga oblika. $l$ takvog tetraedra je oblika $4x + 11$, a broj $2007$ moguce je prikayati kao $4x+11$. Najmanji $l$ kojeg ovakav tetraedar moze poprimiti poprima se za $x=4$ i jedank je $27$. $(a)$ U prvom slucaju najmanji mogci $l$ postize se za $x=5$ i jednak je $27$. Svi brojevi veci ili jednaki $27$ mogu se postici jer su zapisivi u obliku $3x+12$ ili $3x+13$ ili $3x+14$. $(b)$ U prvom slucaju imamo 4 nekongruentna nacina na koje mozemo napraviti tetraedar $T$ takav da $l(T)=2007$, a moguce je i na jedan nacin iz drugog slucaja pa ukupno postoji $5$ takvih nekongruentnih tetraedara.

Školjka

Ocjene: (1)