Točno
17. kolovoza 2012. 22:35 (12 godine, 7 mjeseci)
A tetrahedron is called a MEMO-tetrahedron if all six sidelengths are different positive integers where one of them is
and one of them is
. Let
be the sum of the sidelengths of the tetrahedron
.
(a) Find all positive integers
so that there exists a MEMO-Tetrahedron
with
.
(b) How many pairwise non-congruent MEMO-tetrahedrons
satisfying
exist? Two tetrahedrons are said to be non-congruent if one cannot be obtained from the other by a composition of reflections in planes, translations and rotations. (It is not neccessary to prove that the tetrahedrons are not degenerate, i.e. that they have a positive volume).




(a) Find all positive integers



(b) How many pairwise non-congruent MEMO-tetrahedrons


Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Promatrati cemo dva slucaja, kada su stranice duljina
I
u istome trokutu, i kada nisu.
U prvom slucaju imamo trokut sa stranicama
i
pa iz nejednakosti trokuta dobivamo da je treca stranica (nazovimo je
)

dakle
Neka je najmanja od preostale tri stranice tetraedra
. Postoje tri mogucnosti iz kojega ce vrha
izlaziti.
1. Ako postoji vrh sa stranicama
.
U trokutu sa stranicama
i
je treca stranica
.
U trokutu sa stranicama
i
treca stranica zato mora biti
.
Dakle takvi tetraedri mogu imati
jedino oblika 
2.Ako postoji vrh sa stranicama
U trokutu sa stranicama
i
zadnja je stranica
.
U trokutu sa stranicama
i
posaljednja stranica sada moze biti
ili
.
Dakle takvi tetraedri mogu imati
oblika
ili
.
3. Ako postoji vrh
U trokutu sa stranicama
i
zadnja je stranica ili
ili
.
Neka je posljednja stranica u tetraedru
. U trokutu imamo
i
, pa znamo da
ili
.
Dakle takvi tetraedri mogu imati
oblika
ili oblika
na dva nekongruentna nacina.
Drugi slucaj:stranice nisu u istom trokutu.
Neka je od preostalih stranica najmanja
. U trokutu sa stranicama
i
, posljednja stranica mora biti
zbog nejednakosti trokuta. U trokutu sa stranicama
i
, posljednja stranica mora biti
, jer nemoze biti
zbog uvjeta da su stranice razlicite. U trokutu sa stranicama
i
zadnja je stranica
. Svi tetraedri u kojima
i
nisu u istom trokutu moraju biti ovoga oblika.
takvog tetraedra je oblika
, a broj
moguce je prikayati kao
. Najmanji
kojeg ovakav tetraedar moze poprimiti poprima se za
i jedank je
.
U prvom slucaju najmanji mogci
postize se za
i jednak je
. Svi brojevi veci ili jednaki
mogu se postici jer su zapisivi u obliku
ili
ili
.
U prvom slucaju imamo 4 nekongruentna nacina na koje mozemo napraviti tetraedar
takav da
, a moguce je i na jedan nacin iz drugog slucaja pa ukupno postoji
takvih nekongruentnih tetraedara.


U prvom slucaju imamo trokut sa stranicama




dakle

Neka je najmanja od preostale tri stranice tetraedra


1. Ako postoji vrh sa stranicama

U trokutu sa stranicama



U trokutu sa stranicama



Dakle takvi tetraedri mogu imati


2.Ako postoji vrh sa stranicama

U trokutu sa stranicama



U trokutu sa stranicama




Dakle takvi tetraedri mogu imati



3. Ako postoji vrh

U trokutu sa stranicama




Neka je posljednja stranica u tetraedru





Dakle takvi tetraedri mogu imati



Drugi slucaj:stranice nisu u istom trokutu.
Neka je od preostalih stranica najmanja































