Školjka

%V0 Puno hvala na dugom i promišljenom odgovoru. :D Slažem se da ovo nije zadatak natjecateljskog tipa - jedino mjesto gdje sam kasnije vidio neku varijantu ovoga je neki američki matematički časopis koji je iskočio na Googleu, a tamo je postavljen kao "Prove that the sum of positive divisors of a natural number $n$ is a power of $2$ in and only if $n$ is a product of distinct Mersenne primes." što mi se činilo kao dobaar zapis, makar daje malo veći hint o rješenju te bi se tada cijeli zadatak u biti mogao rješiti oslanjajući se na to da je $\sigma_x$ multiplikativna za relativno proste brojeve i provjeravajući što se dogodi ako broj koji zadovoljava uvjet pomnožimo sa bilo kojim prostim brojem koji to ne zadovoljava. Ljepota same karakterizacije je subjektivna i većinom ovisi o tome koliko je onaj koji rješava susretao Mersenne proste brojeve te bi li prepoznao rješenja za taj skup. Definitvno stoji ovo što si rekao za zadatke "open problem" tipa gdje nema neko osobito "lijepo" rješenje, jer se time u biti provjerava i to koliko je onaj koji rješava siguran u svoje postupke i metode rješavanja i s njima upoznat ili samo ponavlja ono što je prije vidio ili primjenjivao dok ne dobije neko rješenje koje izgleda mogućim. Jedna moguća postava bi bila "Kakvi moraju biti prosti faktori broja $n$ ako je njegov zbroj djelitelja potencija broja $2$?" Sve u svemu, hvala na komentaru. :)

%V0 Ok, fora, svidja mi se. Ipak, postoji jedna stvar koju bih ti htio iskomentirat. Ovo "nuzan i dovoljni uvjet" cu zvat "karakterizacija" jer mi je tako krace. Dakle, tvoja karakterizacija trazenog skupa su svi brojevi koji su umnozak razlicitih Mersenovih prostih. Postavlja se pitanje koliko je ta karakterizacija bolja od pocetne? Dakle, koliko je "bolje" da ja kazem $(a)$ "to su svi $n \in \mathbb{N}$ takvi da je $\sigma_1(n) = 2^k$ za neki $k \in \mathbb{N}$" od toga da kazem, to $(b)$ "to su svi $n \in \mathbb{N}$ takvi da oni u kanonskom rastavu glase $n = p_{1}^{a_1} p_{2}^{a_2} ... p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}}$, pri cemu su svi $a_i = 1$, te svi $p_i$ oblika $2^{k_i} - 1$ za neki $k_i \in \mathbb{N}$"?? Sad, naravno, ovo je filozofsko pitanje i nema tocan odgovor. Kad bi npr odgovor na tvoje pitanje bio "svi prosti brojevi", onda bi se vjerojatno svi slozili da je to bolja karakterizacija. ili npr ako bi odgovor bio "brojevi 1, 2, 5 i 1727", to bi opet bila "bolja" karakterizacija. (ili da je odg svi parni brojevi, ili potencije broja 3 ili kako god). Problem je u tome sto nema neki uniformni popis skupova koji bi se smatrao "normalnima/lijepima/osnovnima", pa onda ako je odgovor da je karakterizacija skupa iz zadatka jedan od tih skupova, onda je taj odgovor tocan ako ne onda nije. Konkretno, osobno smatram da na natjecanjima nije moguce da dode ovaakav zadatak jer se skup Mersenovih brojeva (a kamoli onda onih ciji su svi prosti faktori jednostruki i Mersenovi) ne smatra "lijepim, osnovnim" skupom. Mozda je razlog tomu sto se ne ocekuje da svatko zna da taj skup postoji, pa onda jednom kad svede tvoj zadatak na daljnju karakterizaciju prostih brojeva oblika $2^k-1$ za neki prirodni $k$, taj netko ce misliti da je zapeo i traziti daljnju "ljepsu" karakterizaciju za taj skup iako ona zasad nije poznata matematickom svijetu (ili je mozda cak dokazano da ne postoji, sta god bi to znacilo, nebitno sada). Npr, da si htio postaviti zadatak natjecateljskog tipa mogao si postaviti ovako nesto: "Ako je $p$ prost i vrijedi $2^k = \frac{p^{a+1}-1}{p-1}$, za neki prirodan $k$, dokazi da je $a = 1$" Sve u svemu, zadatak je dobar i drago mi je da je neko postavio zadatak za koji, jednom kad se dode do rjesenja, nije ocito da je bas to rjesenje.. tj zadatak "open problem" tipa, a ne jos jedan od natjecateljskih zadataka. meni je osobno u zadnje vrijeme dosta draze rjesavati takve zadatke za koje neznam imaju li "lijepo" rjesenje (ili, imaju li rjesenje uopce) od onih "normalnih". a i mislio sam da bi mozda tebe i druge interesirao ovaj problem sa karakterizacijom skupova i odredivanjem koji su skupovi "osnovni/lijepi", a koji nisu. Hvala na zadatku :)