Točno
11. rujna 2015. 14:31 (8 godine, 10 mjeseci)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
prvo, primjetimo da je
rjesenje.
zato, uvedimo supstituciju
, imamo dakle
![g: (0 , +\infty) \to (-1, +\infty)](/media/m/2/5/1/2519d013b9c292ac84651b98480dfe9a.png)
![g(xg(y) + x) = g(xy) + x](/media/m/2/8/f/28fff63b12b02b365655778f3873d1e0.png)
zelimo pokazati da je![g(x) = x, \forall x \in (0, +\infty)](/media/m/4/8/a/48a757ab57ca5f6baae19b369b3221f0.png)
neka je![g(1) = c](/media/m/9/e/3/9e36e3571355662c919a80b1c91eaa92.png)
uvrstimo![(x, y) = (1, y) \Rightarrow g(g(y) + 1) = g(y) + 1](/media/m/4/a/9/4a971c8bc9e25a960c3ebe974dc12e7f.png)
uvrstimo![(x, y) = (x, \frac{1}{x}) \Rightarrow g(xg(\frac{1}{x}) + x) = c + x](/media/m/c/a/d/cade7b442592d665dff91e7ad8603613.png)
iz prethodna dva identiteta vidimo da je![g(x) = x, \forall x \geq c+1](/media/m/0/9/8/098b797fff12e09af1ba18b9e854f77d.png)
(to se vidi jer, uzmimo proizvoljan
.. on je u slici funckije zbog drugog identiteta, tj postoji neki
t.d. je
, tj, posebno ako je bas
, onda smo oznacili
, a ako je
, onda vrijedi ovo zbog drugog identiteta. sad naprosto taj konkretan
stavimo u prvi identitet pa dobivamo
, sto smo i zeljeli pokazati)
po dokazanom, vrijedi
.
sad slijedi ideja za dokaz ostatka a zatim ide i formalni dio: (ako sad nastimamo
, ali
, onda cemo i za broj
imati da je na njemu
identiteta. tako cemo lako dobiti da je
identiteta za sve brojeve vece od nekog
, te cemo nastavljanjem pokriti sve brojeve)
formalno, oznacimo
(dakle
nam je "najveci" broj za kojeg
, s tim da se to nemora postizati nuzno za broj
, npr ako bi
bila
na brojevima
, a onda identiteta na brojevima
, tada bi bilo
iako
).
uvrstimo
, pri cemu
. tada imamo
![(a) g(y) = y](/media/m/b/7/b/b7b9569905a5735ef522a49a23397979.png)
![(b) xy + x > xz + x = \frac{z^2 + 2z + 1}{z + 2} > z](/media/m/e/9/9/e99e5d7b334a06702e21ba4ea7742c3f.png)
zbog
imamo,
,
sada zbog
imamo ![xy + x = g(xy) + x \Rightarrow g(\frac{z+1}{z+2}y) = \frac{z+1}{z+2}y, \forall y > z](/media/m/3/c/f/3cf672962d67a2f9d35e8e32c7843ede.png)
zadnji identitet nam govori da je
identiteta na brojevima vecim od
,
drugim rjecima
.
ovo naravno nije moguce ako je
, pa zakljucujemo da je skup
prazan. (u suprotnom, ako je neki
u tom skupu, po definiciji
bit ce
).
kako je taj skup prazan, vrijedi
sto smo i zeljeli pokazati.
dakle, jedino moguce rjesenje je
, a jednostavnom provjerom se vidi da to zaista i jest rjesenje.
![f(x) = x+1](/media/m/1/b/2/1b234b8606848d29e188eb60956a455e.png)
zato, uvedimo supstituciju
![g = f - 1](/media/m/2/5/b/25b4194fed04bb6aaece98ac19c2a6bd.png)
![g: (0 , +\infty) \to (-1, +\infty)](/media/m/2/5/1/2519d013b9c292ac84651b98480dfe9a.png)
![g(xg(y) + x) = g(xy) + x](/media/m/2/8/f/28fff63b12b02b365655778f3873d1e0.png)
zelimo pokazati da je
![g(x) = x, \forall x \in (0, +\infty)](/media/m/4/8/a/48a757ab57ca5f6baae19b369b3221f0.png)
neka je
![g(1) = c](/media/m/9/e/3/9e36e3571355662c919a80b1c91eaa92.png)
uvrstimo
![(x, y) = (1, y) \Rightarrow g(g(y) + 1) = g(y) + 1](/media/m/4/a/9/4a971c8bc9e25a960c3ebe974dc12e7f.png)
uvrstimo
![(x, y) = (x, \frac{1}{x}) \Rightarrow g(xg(\frac{1}{x}) + x) = c + x](/media/m/c/a/d/cade7b442592d665dff91e7ad8603613.png)
iz prethodna dva identiteta vidimo da je
![g(x) = x, \forall x \geq c+1](/media/m/0/9/8/098b797fff12e09af1ba18b9e854f77d.png)
(to se vidi jer, uzmimo proizvoljan
![x \geq c](/media/m/2/f/c/2fc549a83b968ba1917bb63c75775771.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![g(y) = x](/media/m/3/f/4/3f42a6d455c3ba29653d3376b25bb4c1.png)
![x=c](/media/m/8/e/0/8e0534c1ff61b2710b358e87a5d0190d.png)
![g(1)=c](/media/m/d/6/e/d6eb3eaa3f7833b9e63d94e8ed09e9bb.png)
![x > c](/media/m/f/0/c/f0c112aa482b1627f392d0c307e59cbd.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
![g(x+1) = x+1](/media/m/c/5/a/c5afe6527e388464c078ff4e468d5121.png)
po dokazanom, vrijedi
![g(xy + x) = g(xy) + x, \forall x \geq 0, y \geq c+1](/media/m/e/9/a/e9a066d56a819d3fda1061a3a5eb2589.png)
sad slijedi ideja za dokaz ostatka a zatim ide i formalni dio: (ako sad nastimamo
![xy + x \geq c+1](/media/m/d/f/2/df204c77f5d68542a09cc0adfcea8c57.png)
![xy < c+1](/media/m/f/5/b/f5b78628e0a0f7d1ce56927359292af3.png)
![xy](/media/m/5/9/6/596af52a0894be7f886bc10ba63d140f.png)
![g](/media/m/9/5/8/958b2ae8c90cadb8c953ce50efb9c02a.png)
![g](/media/m/9/5/8/958b2ae8c90cadb8c953ce50efb9c02a.png)
![c_1 < c](/media/m/2/f/1/2f1cdeec6c97c56d99885fd26044207a.png)
formalno, oznacimo
![z = sup \{ x > 0 : g(x) \neq x \}](/media/m/1/5/6/156f65135ff055019f91daf6ee91df10.png)
![z](/media/m/d/2/4/d241a79f1fdd0ce9a8f3f91570ba5d62.png)
![g(z) \neq z](/media/m/0/e/4/0e4992f3a0b299a58024c5e7e6e3cf5d.png)
![z](/media/m/d/2/4/d241a79f1fdd0ce9a8f3f91570ba5d62.png)
![g](/media/m/9/5/8/958b2ae8c90cadb8c953ce50efb9c02a.png)
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
![(0,1)](/media/m/9/0/5/905cdd0411da5d901f85c6b15dd80960.png)
![[1, +\infty)](/media/m/6/9/4/69490cb743afc1855af1ee4870fcbbb2.png)
![z=1](/media/m/2/5/9/259a9e576c3957964b1eb732b3563e6f.png)
![g(1) = 1](/media/m/0/7/5/07599b426408c1f52be036a7ce687e1c.png)
uvrstimo
![(x, y) = (\frac{z+1}{z+2}, y)](/media/m/a/8/c/a8ce028437cae93933fa26e5eca1f089.png)
![y > z](/media/m/b/6/5/b6528178af69fb8a5507c40209bd703a.png)
![(a) g(y) = y](/media/m/b/7/b/b7b9569905a5735ef522a49a23397979.png)
![(b) xy + x > xz + x = \frac{z^2 + 2z + 1}{z + 2} > z](/media/m/e/9/9/e99e5d7b334a06702e21ba4ea7742c3f.png)
zbog
![(a)](/media/m/a/7/f/a7fedf50ce0b917a00dd07d5233906f1.png)
![g(xy + x) = g(xy) + x](/media/m/c/0/6/c06437f28c7a25c1f71ae87f7475c168.png)
sada zbog
![(b)](/media/m/9/2/7/92773ef234467079b4efc86655fdc459.png)
![xy + x = g(xy) + x \Rightarrow g(\frac{z+1}{z+2}y) = \frac{z+1}{z+2}y, \forall y > z](/media/m/3/c/f/3cf672962d67a2f9d35e8e32c7843ede.png)
zadnji identitet nam govori da je
![g](/media/m/9/5/8/958b2ae8c90cadb8c953ce50efb9c02a.png)
![\frac{z+1}{z+2}z](/media/m/b/1/d/b1d868800150b05932bd8d88b80f902e.png)
drugim rjecima
![z = sup \{ x > 0 : g(x) \neq x \} \leq \frac{z+1}{z+2}z](/media/m/8/9/2/8922b8f1ee0cde727d6687059472326b.png)
ovo naravno nije moguce ako je
![z > 0](/media/m/4/a/6/4a637112349fa7a1dc997c8c2e68dce2.png)
![\{ x > 0 : g(x) \neq x \}](/media/m/c/9/7/c97e1956849c42f9d136b324ec894b7d.png)
![x_0](/media/m/2/8/d/28d8bab97393896fe23acb973f7cb207.png)
![sup](/media/m/7/f/d/7fd169df53ff327b3d648c1f355d4b84.png)
![z \geq x_0](/media/m/8/5/f/85f3fe3489fdd169133805eb492071db.png)
kako je taj skup prazan, vrijedi
![g(x) = x, \forall x > 0](/media/m/a/8/1/a814bac5c3e7fa0d3eb9b93989bc75d3.png)
dakle, jedino moguce rjesenje je
![f(x) = x + 1, \forall x > 0](/media/m/6/a/a/6aaad143032c02f8c7538f5a688b4599.png)
Ocjene: (1)
Komentari:
grga, 28. listopada 2015. 13:33
ma da, naravno. ovaj formalni dio na kraju je skroz ruzan i zapravo nepotreban jer je jasno sta ce na kraju bit al sam htio napisat pa nek stoji :) a zato sam dao ono kvazi-objasnjenje gore ako se nekom neda citat to nastimavanje.
Hard core rješenje, svaka čast.
Pretpostavljam da kad si došao do onoga da je
za svaki
, da si znao da ćeš prije ili poslije dokazati tvrdnju i za ostale
-eve?
Pretpostavljam da kad si došao do onoga da je
![g(x) = x](/media/m/b/4/9/b490b1ed03e107ff0539d173ef604cde.png)
![x \geq c + 1](/media/m/b/b/b/bbb5b26bff0eeb4fb7be35e3239921d2.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
ikicic, 14. listopada 2015. 20:26