Točno
3. prosinca 2015. 10:33 (8 godine, 7 mjeseci)
Sakrij rješenje
Dokaži da za svaki
![S = \{a_1, a_2, ... , a_k\} \subset \mathbb{N}](/media/m/6/e/3/6e3f7fce7f4d4faef31d123ab5290cbb.png)
takav da
![i \neq j \implies a_i \neq a_j](/media/m/a/c/1/ac135536634360f744f1d6175011bc08.png)
postoji beskonačno mnogo
![n \in \mathbb{N}](/media/m/2/b/a/2ba27c6141ca415bb86bae1d237f1fac.png)
takvih da
%V0
Dokaži da za svaki $S = \{a_1, a_2, ... , a_k\} \subset \mathbb{N}$ takav da $i \neq j \implies a_i \neq a_j $ postoji beskonačno mnogo $n \in \mathbb{N}$ takvih da $\gcd(a_1 + n, a_2 + n, ..., a_k + n) = 1.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
BSOMP da
![a_1 = \max(S)](/media/m/4/3/d/43dd507bf7a7e595a279093b66e7c34e.png)
i da
![a_1 + n = p](/media/m/5/f/a/5fab6cb939c30272d9c1c842a09886f8.png)
gdje je
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
neki prost broj. Tada za svaki
![i \neq 1](/media/m/4/3/e/43e8a9af1c0b6b6afbe036e9282ff848.png)
vrijedi
![a_i + n < p](/media/m/b/1/b/b1b3ca29c396967c260e139923ff8d55.png)
pa time i
![\gcd(a_i + n, p) = 1](/media/m/8/7/1/87166abfd6f11d59d973645cd8164253.png)
. Budući da postoji beskonačno mnogo
![p > a_1](/media/m/f/e/0/fe0ce3bad09324bbe1b50009e483b512.png)
postoji i beskonačno mnogo
![n = p - a_1](/media/m/0/7/1/0711748e41ba4f82ed65248d65217114.png)
takvih da ovo vrijedi.
%V0
BSOMP da $a_1 = \max(S)$ i da $a_1 + n = p$ gdje je $p$ neki prost broj. Tada za svaki $i \neq 1$ vrijedi $a_i + n < p$ pa time i $\gcd(a_i + n, p) = 1$. Budući da postoji beskonačno mnogo $p > a_1$ postoji i beskonačno mnogo $n = p - a_1$ takvih da ovo vrijedi.