Točno
29. studenoga 2015. 20:26 (8 godine, 7 mjeseci)
![8 \times 8](/media/m/0/6/1/06154d0025de243d356b138b5f316d8e.png)
šahovnica obojana je crno bijelo na način da je samo gornji lijevi kut crn, a sva ostala polja su bijela. U svakom koraku možemo promijeniti boju svih polja u jednom stupcu ili u jednom retku ili promjeniti boju svih polja u nekom
![2 \times 2](/media/m/c/f/d/cfdba3af3c1b523bcf88287537d46b83.png)
kvadratu. Možemo li doći do pozicije u kojoj više nema crnih polja? A do pozicije u kojoj su sva polja crna?
%V0
$8 \times 8$ šahovnica obojana je crno bijelo na način da je samo gornji lijevi kut crn, a sva ostala polja su bijela. U svakom koraku možemo promijeniti boju svih polja u jednom stupcu ili u jednom retku ili promjeniti boju svih polja u nekom $2 \times 2$ kvadratu. Možemo li doći do pozicije u kojoj više nema crnih polja? A do pozicije u kojoj su sva polja crna?
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Dokažimo da se parnost broja crnih polja neće promijeniti. Kako sada iznosi
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
to znači da će zauvijek ostati neparna tj. nikad neće biti niti
![0](/media/m/7/b/8/7b8b0b058cf5852d38ded7a42d6292f5.png)
niti
![64](/media/m/9/7/8/9784937959ae6ef9116be151659cf692.png)
.
Ako mijenjamo boje u stupcu ili redu tada iz početnih
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
polja dobivamo
![8-x](/media/m/e/c/f/ecf0e50a688bc708aed7fc54b76fdd45.png)
pa je promjena polja iste boje
![8-2x](/media/m/c/1/a/c1a56ab87b83043effc83c1fbad60dcd.png)
što je paran broj pa se parnost ne mijenja.
Analogno je i u
![2 \times 2](/media/m/c/f/d/cfdba3af3c1b523bcf88287537d46b83.png)
kvadratu. Promjena polja je
![4-2x](/media/m/7/6/2/762eabc61f3e119bcf13bb1cb37f522f.png)
pa se ni ovdje parnost ne mijenja.
%V0
Dokažimo da se parnost broja crnih polja neće promijeniti. Kako sada iznosi $1$ to znači da će zauvijek ostati neparna tj. nikad neće biti niti $0$ niti $64$.
Ako mijenjamo boje u stupcu ili redu tada iz početnih $x$ polja dobivamo $8-x$ pa je promjena polja iste boje $8-2x$ što je paran broj pa se parnost ne mijenja.
Analogno je i u $2 \times 2$ kvadratu. Promjena polja je $4-2x$ pa se ni ovdje parnost ne mijenja.