Školjka

%V0 pretpostavimo suprotno, da postoje takve $f$ i $g$. tada ocito postoji $c \in \mathbb{R}, c \neq 0$ za koji $g(c) \neq 0$ (inace bi npr. uvrstavanje $x = 2, y = 1$ dovelo na kontradikciju). uvrstavajuci $(x, c)$, nalazimo $$f(x) = \frac{(x - c) e^{-(x - c)^2} + f(c)g(x)}{g(c)} \qquad \forall x \in \mathbb{R}$$ uvrstavajuci to nazad u pocetnu dobivamo $$\frac{(x - c) e^{-(x - c)^2} + f(c)g(x)}{g(c)}g(y) - \frac{(y - c) e^{-(y - c)^2} + f(c)g(y)}{g(c)}g(x) = (x - y) e^{-(x - y)^2} \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}$$ odnosno nakon mnozenja s $g(c) \neq 0$ i sredivanja, $$g(y) (x - c) e^{-(x - c)^2} - g(x) (y - c) e^{-(y - c)^2} = g(c)(x - y) e^{-(x - y)^2} \qquad \forall x, y \in \mathbb{R}$$ uvrstavajuci $x = 2c$ i $x = 0$ te izrazavajuci $g(y)$, zbog $ce^{-c^2} \neq 0$ dobivamo $$g(y) = \frac{g(2c) (y - c) e^{-(y - c)^2} + g(c)(2c - y) e^{-(2c - y)^2}}{c e^{-c^2}} \qquad \forall y \in \mathbb{R}$$ $$g(y) = \frac{- g(0) (y - c) e^{-(y - c)^2} + g(c)y e^{-y^2}}{c e^{-c^2}} \qquad \forall y \in \mathbb{R}$$ pa sada izjednacavanjem slijedi $$(g(2c) + g(0)) (y - c) e^{-(y - c)^2} + g(c)((2c - y) e^{-(2c - y)^2} - y e^{-y^2}) = 0 \qquad \forall y \in \mathbb{R}$$ uvedimo supstituciju $z = y-c$ zbog simetrije. takoder, neka je $A = \frac{g(2c)+g(0)}{g(c)}$ sto je opravdano zbog $g(c) \neq 0$. prethodna jednakost postaje $$Aze^{-z^2} - (z-c)e^{-(z-c)^2} - (z+c)e^{-(z+c)^2} = 0 \qquad \forall z \in \mathbb{R}$$ nekako je jasno da je vrlo tesko da ce ovaj identitet vrijediti $\forall z \in \mathbb{R}$, ako je $c \neq 0$, ali pokazimo to. podijelimo sve s $e^{-z^2}$ i s $e^{-c^2}$ te oznacimo jos $B = \frac{A}{e^{-c^2}}$. takoder, neka je $w = \frac{z}{c}$, te podijelimo sve s $c$ (opet, sve je opravdano zbog $c \neq 0$). dobivamo $$Bw - (w-1)e^{2wc^2} - (w+1)e^{-2wc^2} = 0 \qquad \forall w \in \mathbb{R}$$ ako je $c \neq 0$, tada je $c^2 > 0$, pa ovo ne moze biti istina $\forall w \in \mathbb{R}$, jer za dovoljno velike $w$, $Bw$ raste linearno a $(w-1)e^{2wc^2}$ eksponencijalno, dok zadnji clan, $(w+1)e^{-2wc^2}$ tezi u nulu, pa cijeli izraz tezi u $- \infty$.