Točno
14. siječnja 2016. 21:41 (8 godine, 6 mjeseci)
Nađite sve realne brojeve
![x,y](/media/m/f/b/6/fb60533620f22cd699e5b58ce9a646a4.png)
za koje vrijedi
%V0
Nađite sve realne brojeve $x,y$ za koje vrijedi
$$y^2(4x^2+4x+1)^2+(2y+1)(4x^2+4x+1)-1=\frac{-1}{4x^2+4x+1}$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Jednakost se može zapisati kao:
![y^2(2x+1)^2+2y(2x+1)^2+1+(2x+1)^2-2=\frac{-1}{(2x+1)^2}](/media/m/1/2/9/1295127bb430611f8792eb6990885473.png)
Odnosno nakon svođenja na kvadrat binoma na lijevoj strani i prebacivanja ostalog u razlomak na desnoj:
![(y(2x+1)^2+1)^2=\frac{-1+2(2x+1)^2-(2x+1)^4}{(2x+1)^2}](/media/m/f/a/7/fa7f594a8463a673a3cc2738b86eefa7.png)
Prepoznajemo kvadrat binoma u brojniku:
![(y(2x+1)^2+1)^2=-\frac{((2x+1)^2-1)^2}{(2x+1)^2}](/media/m/c/a/7/ca75d3adfbefe1ec4c05d2ceaf64aec8.png)
Iz zadatka imamo uvjet
![x\neq-\frac{1}{2}](/media/m/2/5/7/257e02ed1c4b2f1f399871a258b84a76.png)
i slobodno možemo množiti cijelu jednakost s
![(2x+1)^2](/media/m/c/a/b/cabd31b4236e1517de7421f0b5df4645.png)
:
![(2x+1)^2(y(2x+1)^2+1)^2+((2x+1)^2-1)^2=0](/media/m/4/1/0/410b6cb4e6bcea29616d335ad98848d4.png)
Sada dobivamo
![(2x+1)^2=1](/media/m/3/f/1/3f1590d79b0491aaea840f3599fb21ed.png)
i
![y=-1](/media/m/1/6/7/1675e70f295dea07ba0b089f32029f16.png)
pa su rješenja dane jednadžbe
![(x, y)=(0,-1), (-1,-1)](/media/m/5/a/f/5af7c03ad7422599107858930d7cf9d7.png)
.
%V0
Jednakost se može zapisati kao:
$y^2(2x+1)^2+2y(2x+1)^2+1+(2x+1)^2-2=\frac{-1}{(2x+1)^2}$
Odnosno nakon svođenja na kvadrat binoma na lijevoj strani i prebacivanja ostalog u razlomak na desnoj:
$(y(2x+1)^2+1)^2=\frac{-1+2(2x+1)^2-(2x+1)^4}{(2x+1)^2}$
Prepoznajemo kvadrat binoma u brojniku:
$(y(2x+1)^2+1)^2=-\frac{((2x+1)^2-1)^2}{(2x+1)^2}$
Iz zadatka imamo uvjet $x\neq-\frac{1}{2}$ i slobodno možemo množiti cijelu jednakost s $(2x+1)^2$ :
$(2x+1)^2(y(2x+1)^2+1)^2+((2x+1)^2-1)^2=0$
Sada dobivamo $(2x+1)^2=1$ i $y=-1$ pa su rješenja dane jednadžbe $(x, y)=(0,-1), (-1,-1)$ .
15. siječnja 2016. 01:53 | ikicic | Točno |
19. siječnja 2016. 23:15 | grga | Točno |