Točno
17. siječnja 2016. 20:04 (8 godine, 6 mjeseci)
Dokažite da su težišnice iz vrhova
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
i
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
trokuta
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost
%V0
Dokažite da su težišnice iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$ međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost $$\left\vert BC \right\vert^2 + \left\vert AC \right\vert^2 = 5 \left\vert AB \right\vert^2 \text{.}$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka je
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
polovište
![BC](/media/m/5/0/0/5005d4d5eac1b420fbabb76c83fc63ad.png)
i
![Q](/media/m/4/5/c/45ce8d14aa1eb54f755fd8e332280abd.png)
polovište
![AC](/media/m/6/4/7/647ef3a5d68f07d59d84afe03a9dc655.png)
i
![T](/media/m/0/1/6/016d42c58f7f5f06bdf8af6b85141914.png)
težište. Treba dokazati
![QB \perp AP \Leftrightarrow BC^2+AC^2=5AB^2](/media/m/3/d/1/3d1ae282ca4113b39ef073122b060ee3.png)
.
Dokažimo prvo smjer prema desno.
Neka je
![AP=t_a](/media/m/c/e/c/cecef21ae10f25467fee44bfcb11d78b.png)
i
![BQ=t_b](/media/m/8/a/d/8ad52bd7d60f469bc76ad36cba5757b8.png)
. Vrijedi
![AT=2/3 AP, TP=1/3 AP](/media/m/4/6/5/465a9ac0692c3a5845ab6c3603f2a93d.png)
i analogno na
![BQ](/media/m/2/8/c/28cc5d89f53243e9e0fb41492df4736b.png)
.
Po Pitagorinom poučku u
![ATB](/media/m/d/c/1/dc1679a848e62f12191f1ee72ca0aadf.png)
je
![t_a^2+t_b^2=9/4 AB^2](/media/m/e/e/b/eeb5505844bc389c8bc0d61064485fa9.png)
. U trokutima
![AQT](/media/m/7/8/9/78967c4e623f39e56cb91977d68c2b8a.png)
i
![TPB](/media/m/9/2/e/92ed58f6c44291b96b0497e0c04dce8f.png)
dobiva se redom
![4t_a^2+t_b^2=9/4AC^2](/media/m/4/1/5/41575dbf34c548c27090d889c5c1b2a7.png)
i
![4t_b^2+t_a^2=9/4BC^2](/media/m/f/6/c/f6cd0b6f78df70c897f2f6056640489e.png)
.
Zbrajanjem je
![5(t_a^2+t_b^2)=5*9/4AB^2=9/4AC^2+9/4BC^2](/media/m/6/7/a/67a648520ae03e747a62a93be20b3047.png)
tj.
![5AB^2=BC^2+AC^2](/media/m/9/c/6/9c6345a2a22356d14c7f5b5f6b046a93.png)
što je i trebalo dokazati.
Drugi smjer:
Uvedimo oznake
![a,b,c](/media/m/3/6/4/36454fdb50fc50f021324b33a6b513e3.png)
. Pretpostavljamo
![a^2+b^2=5c^2](/media/m/c/e/b/cebb11e7602b7ce3ac413c3ceea8a6d5.png)
.
Opće je poznata formula za težišnicu
![t_a=\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.](/media/m/4/8/3/483cc3fc4d1fb953521e8e621a8886ae.png)
Tada je
![t_a^2+t_b^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2+4c^2)=\frac{9}{4}c^2](/media/m/a/b/2/ab2f4a166d9c587c301529f4cdacdeae.png)
iz čega slijedi
![\frac {4}{9}(t_a^2+t_b^2)=c^2](/media/m/1/4/e/14ed494ef4960b7eb08f2bbab24de1f7.png)
.
Po obratu Pitagorinog poučka je
![ATB](/media/m/d/c/1/dc1679a848e62f12191f1ee72ca0aadf.png)
pravokutan odnosno
![AP \perp QB](/media/m/e/e/4/ee49e80a832c2bef4a54b0e5c8f156be.png)
, što je i trebalo dokazati.
%V0
Neka je $P$ polovište $BC$ i $Q$ polovište $AC$ i $T$ težište. Treba dokazati $QB \perp AP \Leftrightarrow BC^2+AC^2=5AB^2$.
Dokažimo prvo smjer prema desno.
Neka je $AP=t_a$ i $BQ=t_b$. Vrijedi $AT=2/3 AP, TP=1/3 AP$ i analogno na $BQ$.
Po Pitagorinom poučku u $ATB$ je $t_a^2+t_b^2=9/4 AB^2$. U trokutima $AQT$ i $TPB$ dobiva se redom $4t_a^2+t_b^2=9/4AC^2$ i $4t_b^2+t_a^2=9/4BC^2$.
Zbrajanjem je $5(t_a^2+t_b^2)=5*9/4AB^2=9/4AC^2+9/4BC^2$ tj. $5AB^2=BC^2+AC^2$ što je i trebalo dokazati.
Drugi smjer:
Uvedimo oznake $a,b,c$. Pretpostavljamo $a^2+b^2=5c^2$.
Opće je poznata formula za težišnicu $t_a=\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$ Tada je $t_a^2+t_b^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2+4c^2)=\frac{9}{4}c^2$ iz čega slijedi $\frac {4}{9}(t_a^2+t_b^2)=c^2$.
Po obratu Pitagorinog poučka je $ATB$ pravokutan odnosno $AP \perp QB$, što je i trebalo dokazati.
26. siječnja 2016. 21:29 | grga | Točno |