Točno
17. siječnja 2016. 21:45 (8 godine, 6 mjeseci)
Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.
%V0
Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka je zadani trokut
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
. Neka je
![AP](/media/m/7/b/0/7b05fe3b464ec24a15fa5701f4d14b61.png)
težišnica,
![BQ](/media/m/2/8/c/28cc5d89f53243e9e0fb41492df4736b.png)
simetrala i
![CR](/media/m/4/4/2/442b82df351039edeb92b13e5340a685.png)
visina te
![AP \cap BQ=S](/media/m/b/f/3/bf39cd56fb579d5a06df69cdf690dcb7.png)
.
Pretpostavimo da je taj trokut doista jednakostraničan.
Tada je
![\angle TUS=\angle STU = \angle TSU = 60.](/media/m/2/7/e/27e77d40999d8fb6e401f7d770790d50.png)
Možemo saznati vrijednosti kutova:
![\angle RBT=90-60=30](/media/m/f/1/a/f1aed837c9615525e62b13bc51183b82.png)
i dalje
![\angle SBP=\angle RBT=30](/media/m/c/c/3/cc3da54d058fe3865866ec8a7b296812.png)
(simetrala) te je
![\angle SPB=90](/media/m/0/f/8/0f8e106760b4bc5860946d941f3d477c.png)
.
![AP](/media/m/7/b/0/7b05fe3b464ec24a15fa5701f4d14b61.png)
je po pretpostavci težišnica, ali i visina pa je trokut jednakokračan. Također ima kut
![\angle ABC=60](/media/m/8/2/9/8294f2ac395d4e33c1f5915c26ed14db.png)
. Dakle trokut je jednakostraničan, ali tada bi se te dužine sjekle u jednoj točki, pa smo došli do kontradikcije.
%V0
Neka je zadani trokut $ABC$. Neka je $AP$ težišnica, $BQ$ simetrala i $CR$ visina te $CR \cap AP=U,$ $CR \cap BQ=T,$ $AP \cap BQ=S$.
Pretpostavimo da je taj trokut doista jednakostraničan.
Tada je $\angle TUS=\angle STU = \angle TSU = 60.$
Možemo saznati vrijednosti kutova: $\angle RBT=90-60=30$ i dalje $\angle PSB=60$ $\angle SBP=\angle RBT=30$ (simetrala) te je $\angle SPB=90$.
$AP$ je po pretpostavci težišnica, ali i visina pa je trokut jednakokračan. Također ima kut $\angle ABC=60$. Dakle trokut je jednakostraničan, ali tada bi se te dužine sjekle u jednoj točki, pa smo došli do kontradikcije.
1. ožujka 2016. 01:47 | grga | Točno |