Točno
18. siječnja 2016. 01:12 (8 godine, 6 mjeseci)
Sakrij rješenje
Sakrij rješenje
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Budući da je
, imamo
![a\leqslant x\leqslant b\Rightarrow\frac{1}{b}\leqslant\frac{1}{x}\leqslant\frac{1}{a},](/media/m/e/3/f/e3f68ec3252323d66409f10d73086f7a.png)
![a\leqslant y\leqslant b\Rightarrow\frac{1}{b}\leqslant\frac{1}{y}\leqslant\frac{1}{a}.](/media/m/8/7/d/87d092d0d36ee468e6d9f5fe6840b0eb.png)
Zbrajanjem ovih nejednakosti dobivamo
![\frac{2}{b}\leqslant\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leqslant\frac{2}{a},](/media/m/7/8/e/78e981e511a66882be844d7cabb1da57.png)
pa kako bi tvrdnja zadatka bila ispunjena, mora vrijediti
![\left[\frac{2}{b},\frac{2}{a}\right]\subseteq[a,b],](/media/m/b/f/4/bf4b65ac3f4afdcf56295a614b1816bc.png)
tj.
![\frac{2}{b}\geqslant a,\ \frac{2}{a}\leqslant b.](/media/m/8/7/3/87391c90dffac0e63bb7c3aa0b6b777f.png)
Množenjem ovih nejednakosti brojevima
, tim redom (ti su brojevi prirodni pa se znak nejednakosti neće promijeniti), dobivamo
![2\geqslant ab,\ 2\leqslant ab.](/media/m/f/0/2/f026cbd23eefbc1afcd94fd30ed1e549.png)
Dakle, mora biti
. Budući da su
i
prirodni brojevi, vidimo da je jedino moguće rješenje
,
.
![x,y\in[a,b]](/media/m/1/0/e/10eecd0a7becb8f46e40e628617729df.png)
![a\leqslant x\leqslant b\Rightarrow\frac{1}{b}\leqslant\frac{1}{x}\leqslant\frac{1}{a},](/media/m/e/3/f/e3f68ec3252323d66409f10d73086f7a.png)
![a\leqslant y\leqslant b\Rightarrow\frac{1}{b}\leqslant\frac{1}{y}\leqslant\frac{1}{a}.](/media/m/8/7/d/87d092d0d36ee468e6d9f5fe6840b0eb.png)
Zbrajanjem ovih nejednakosti dobivamo
![\frac{2}{b}\leqslant\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leqslant\frac{2}{a},](/media/m/7/8/e/78e981e511a66882be844d7cabb1da57.png)
pa kako bi tvrdnja zadatka bila ispunjena, mora vrijediti
![\left[\frac{2}{b},\frac{2}{a}\right]\subseteq[a,b],](/media/m/b/f/4/bf4b65ac3f4afdcf56295a614b1816bc.png)
tj.
![\frac{2}{b}\geqslant a,\ \frac{2}{a}\leqslant b.](/media/m/8/7/3/87391c90dffac0e63bb7c3aa0b6b777f.png)
Množenjem ovih nejednakosti brojevima
![a,b](/media/m/7/d/8/7d8bdace47e602448e6040957d8cf923.png)
![2\geqslant ab,\ 2\leqslant ab.](/media/m/f/0/2/f026cbd23eefbc1afcd94fd30ed1e549.png)
Dakle, mora biti
![ab=2](/media/m/f/7/5/f759a487fa3af0b86d92ccd7cf44f3a4.png)
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
![a=1](/media/m/1/c/6/1c6abdce7cd19174d88d7aa73e680bf7.png)
![b=2](/media/m/f/8/d/f8d26bb35153bc6de8fe79d6cfb9b6fd.png)