Školjka

%V0 Budući da je $x,y\in[a,b]$, imamo $$a\leqslant x\leqslant b\Rightarrow\frac{1}{b}\leqslant\frac{1}{x}\leqslant\frac{1}{a},$$ $$a\leqslant y\leqslant b\Rightarrow\frac{1}{b}\leqslant\frac{1}{y}\leqslant\frac{1}{a}.$$ Zbrajanjem ovih nejednakosti dobivamo $$\frac{2}{b}\leqslant\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leqslant\frac{2}{a},$$ pa kako bi tvrdnja zadatka bila ispunjena, mora vrijediti $$\left[\frac{2}{b},\frac{2}{a}\right]\subseteq[a,b],$$ tj. $$\frac{2}{b}\geqslant a,\ \frac{2}{a}\leqslant b.$$ Množenjem ovih nejednakosti brojevima $a,b$, tim redom (ti su brojevi prirodni pa se znak nejednakosti neće promijeniti), dobivamo $$2\geqslant ab,\ 2\leqslant ab.$$ Dakle, mora biti $ab=2$. Budući da su $a$ i $b$ prirodni brojevi, vidimo da je jedino moguće rješenje $a=1$, $b=2$.