Školjka

%V0 Dana nejednakost je ekvivalentna s: $$\frac{\sqrt[3]{6ab+1}}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{6bc+1}}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{6ac+1}}{\sqrt[3]{c}}\leq\frac{1}{abc}$$ Odnosno nakon svođenja na zajednički nazivnik: $$\frac{\sqrt[3]{(6ab+1)bc}+\sqrt[3]{(6bc+1)ac}+\sqrt[3]{(6ac+1)ab}}{\sqrt[3]{abc}}\leq\frac{1}{abc}$$ Sada kubiramo: $$[\sqrt[3]{(6ab+1)bc}+\sqrt[3]{(6bc+1)ac}+\sqrt[3]{(6ac+1)ab}]^3\leq\frac{1}{(abc)^2}$$ I koristimo Holderovu nejednakost na lijevu stranu: $$(6ab+1+6bc+1+6ac+1)(a+b+c)^2\leq\frac{1}{(abc)^2}$$ Množimo nejednakost s $(abc)^2$ i zbog uvjeta zadatka preostaje dokazati: $$9(abc)^2(a+b+c)^2\leq1$$ Ali iz uvjeta zadatka imamo i $1=(ab+bc+ac)^2\geq3abc(a+b+c)$ pa kada kvadriramo ovu nejednakost, dobivamo točno ono što je preostalo dokazati čime smo gotovi.