Školjka

%V0 Rješenja su $x = 1$, $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ i $x = -\frac{\sqrt{5}+1}{2}$, ali nije mi pretjerano jasno kako sam uspio doći do toga. Dakle, napravio sam ovo: $2 \sqrt[3]{2x - 1} = x^3 + 1$ $x = \frac12 y + \frac12$ $2 \sqrt[3]{y} = \frac18( y^3 + 3y^2 + 3y + 9 )$ $y = z^3$ $z^9 + 3z^6 + 3z^3 - 16z + 9 = 0$ No, taj isti polinom se dobije direktno kubiranjem početne jednadžbe: $x^9 + 3x^6 + 3x^3 - 16x + 9 = 0$ Dakle, vjerojatno je $x = z$: $x = z = \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{2x - 1}$ $x^3 - 2x + 1 = 0$ $(x - 1)(x^2 + x - 1) = 0$ $(x - 1)(x - \frac{\sqrt{5} - 1}{2})(x - \frac{-\sqrt{5} - 1}{2}) = 0$ Ta tri rješenja se provjere, a ostalih 6 otpadaju jer... hmm... je za $x \geq \frac12$ LHS konkavna funkcija, RHS konveksna, pa mogu imati najviše 2 sjecišta (što i imaju), za $x < 0$ LHS je konveksna, RHS konkavna, pa mogu opet imati najviše 2 sjecišta, ali imaju samo 1 jer RHS << LHS za $x \to -\infty$, a RHS > LHS za $x = 0$, za $0 \leq x < \frac12$ nema sjecišta, jer je LHS manji od $0$, RHS veći od $0$. Fora zadatak :)