Školjka

%V0 Jednadžba je ekvivalentna $f(x) = x^9 + 3x^6 + 3x^3 -16x + 9 = 0$ Uvrštavanjem $a = \sqrt[3]{2x -1}$ dolazimo i do $f(a) = 0$ Ako pretpostavimo $x = a$ dobivamo $g(x) = x^3 -2x + 1 = 0$ Iz toga nalazimo rješenja $x \in \{1, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \}$ te provjerom ona uistinu zadovoljavaju $f(x) = 0$ Dijeljenjem polinoma dolazimo do $p(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = x^6+2 x^4+2 x^3+4 x^2+2 x+9 = 0$. Svi koeficijenti su pozitivni pa očito $p(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}^+$. Na intervalu $x \in [-1, 0]$ vrijedi: $p(x) \geq x^6 + 2x^4 - 2 +4x^2 -2 + 9 = x^6 + 2x^4 + 4x^2 + 5 > 0$ Na svim manjim brojevima vrijedi: $p(x) > x^6 - 2x^3 + 2x^3 + 2x^2 - 2x + 2x + 9 = x^6 + 2x^2 + 9 > 0$ Iz ovoga slijedi da su jedine realne nultočke $f(x)$ nultočke $g(x)$.