Školjka

%V0 Prvo prebacimo jedinicu na lijevu stranu: $$2\sqrt[3]{2x-1}-1=x^3$$ I sada primijetimo da se izraz $2x-1$ na neki način ponavlja na lijevoj strani, odnosno ako stavimo $f(x)=2x-1$, početnu jednadžbu možemo zapisati kao: $$f(\sqrt[3]{f(x)})=x^3$$ Sada bi nam bilo dobro naći funkciju koja zadovoljava ovu jednadžbu koju bismo onda izjednačili s izrazom $2x-1$ kako bi dobili neka rješenja dane jednakosti. Kako se u ovoj funkcijskoj jednadžbi samo vade korijeni i dižu potencije, dobra pretpostavka za oblik funkcije koja ovo zadovoljava je $f(x)=x^n$. Sada imamo: $$(\sqrt[3]{x^n})^n=x^3$$ Odnosno: $$x^{\frac{n^2}{3}}=x^3$$ Iz čega dobivamo $n=3$ i funkcija $f(x)=x^3$ zadovoljava funkcijsku jednadžbu. Dakle svi brojevi $x$ za koje vrijedi $2x-1=x^3$ zadovoljavaju početnu jednadžbu pa njezina tri rješenja možemo naći rješavajući ovu kubnu jednadžbu (čije je jedno rješenje $x=1$ što olakšava posao). Ta tri rješenja su $1, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$. Na početku rješavanja zadatka mogli smo kubirati danu jednadžbu što bi nas dovelo do nalaženja nultočaka polinoma $x^9+3x^6+3x^3-16x+9$ i to nije jednostavan zadatak, međutim sada kad znamo tri njegove nultočke možemo ga podijeliti polinomom $x^3-2x+1$ da bi dobili polinom manjeg stupnja. Taj polinom je: $$x^6+2x^4+2x^3+4x^2+2x+9$$ Naš je zadatak sada naći njegove realne korijene, odnosno u ovom slučaju pokazati da ih nema. Ako je $x\geq0, LHS>0$ i tu nemamo rješenja. Ako je $x<0$, članovi $2x^3$ i $2x$ su negativni dok su ostali pozitivni pa stavimo li $x=-y$ potrebno je dokazati: $$y^6+2y^4-2y^3+4y^2-2y+9>0$$ Ali to se može zapisati kao: $$(y^3-1)^2+2y^4+3y^2+(y-1)^2+7>0$$ Što sigurno vrijedi i time smo dokazali da početna jednadžba ima samo tri rješenja: $1, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.