Rješenja zadatka "Simulacija županijskog 2016. za prvi razred zadatak 1." korisnika "rhldj"

Točno

21. ožujka 2016. 17:20 (8 godine, 11 mjeseci)

Korisnik: rhldj
Zadatak: Simulacija županijskog 2016. za prvi razred zadatak 1. (Sakrij tekst zadatka)

Neka su $a,b,c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a+b+c\leqslant3$ . Odredite najmanju moguću vrijednost izraza $\frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}.$

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Vrijedi da je $\frac{a+1}{a(a+2)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a(a+2)}$ , ali i $\frac{a+1}{a(a+2)}=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{a(a+2)}$ . Kad zbrojimo jednakosti, dobivamo $2\frac{a+1}{a(a+2)}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a+2}$ .
Dakle $2\sum \limits_{cyc} \frac{a+1}{a(a+2)}=\sum \limits_{cyc}\frac{1}{a}+\sum \limits_{cyc}\frac{1}{a+2}$ .
Općenito po $AH$ vrijedi da je $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$ .
Primjenom toga gore se dobiva da je $2\sum\limits_{cyc}\frac{a+1}{a(a+2)} \geq \frac{9}{a+b+c} + \frac{9}{a+b+c+6} \geq \frac{9}{3} + \frac{9}{9} = 4$ , odnosno
$\sum \limits_{cyc}\frac{a+1}{a(a+2)} \geq 2$ , što je traženi minimum.

Ocjene: (1)

Komentari:

grga, 21. veljače 2016. 20:54

sad si dokazao da je izraz uvijek $\geq 2$ , ali ako tražiš minimum moras naci i slucaj kad se ta vrijednost postize. jer ono, mogu ja dosta lako pokazat da je taj izraz $\geq 0$ , pa ne znaci da je to minimum. ok, ovdje je to trivijalno tipa kad je $a=b=c=1$ , al opet takve stvari bi trebao pisati. inace je takoder interesantno da se minimum uopce ne mora postizati. npr ako imas "uvjet $a, b, c > 0$ , nadi minimum od $a^2 + b^2 + c^2$ " .. ok sad je glup primjer, al jasno da je ovaj izraz uvijek $\geq 0$ , ali da se $0$ nikada nece postici. to se onda zove infimum, cisto ako ce neko htjeti guglati malo.

dpaleka, 19. veljače 2016. 20:07

Stavi \sum \limits_{cyc}.

Školjka

Ocjene: (1)

Komentari: