Točno
20. veljače 2016. 17:10 (8 godine, 4 mjeseci)
Zadane su funkcije
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
i
![g](/media/m/9/5/8/958b2ae8c90cadb8c953ce50efb9c02a.png)
iz
![\mathbb{R}](/media/m/1/4/0/140a3cd0f5aa77f0f229f3ae2e64c0a6.png)
u
![\mathbb{R}](/media/m/1/4/0/140a3cd0f5aa77f0f229f3ae2e64c0a6.png)
.
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
je bijekcija i za svaki realni
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
vrijedi:
![f(x) + g(x) = 2\text{.}](/media/m/3/0/6/306d82320113f958b92d754610c1fe72.png)
Pokaži da postoji točno jedan
![x_0](/media/m/2/8/d/28d8bab97393896fe23acb973f7cb207.png)
takav da je:
%V0
Zadane su funkcije $f$ i $g$ iz $\mathbb{R}$ u $\mathbb{R}$. $f$ je bijekcija i za svaki realni $x$ vrijedi: $$f(x) + g(x) = 2\text{.}$$
Pokaži da postoji točno jedan $x_0$ takav da je: $$f(f(x_0)) + g(g(x_0)) = 2\text{.}$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Iz teksta zadatka jasno je da je f bijekcija, pa definirajmo f kao funkciju koja svakom elementu iz
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
pridruži točno jedan element skupa
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
.
![(\forall y\in B)(\exists! x \in A) y=f(x)](/media/m/3/6/4/36412ac1cbc7f32ab0888e06a2354e69.png)
Ako je
![f(x)](/media/m/3/f/4/3f40d68090aa4fb60a440be4675c7aca.png)
bijekcija onda je ona također injekcija i surjekcija.
Injekcija:
Surjekcija:
![(\forall y\in B)(\exists x \in A) y=f(x)](/media/m/2/9/5/2953f02762771e53ab186636eb6e303e.png)
Ako je
![f(x)](/media/m/3/f/4/3f40d68090aa4fb60a440be4675c7aca.png)
Znamo da je:
![f(x)+g(x)=2](/media/m/f/e/f/fefc620200c553b33f570d03d81c8ffa.png)
pa izrazimo funkciju
![g(x)](/media/m/4/b/0/4b0b04177e3643e2da7ebf1f112c0e69.png)
preko
![f(x)](/media/m/3/f/4/3f40d68090aa4fb60a440be4675c7aca.png)
.
![g(x)=2-f(x)](/media/m/9/5/f/95f7beba485176f65992f21587cdbf8b.png)
i to povratnom supstitucijom vratimo u drugi uvijet o funkcijama
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
i
![g](/media/m/9/5/8/958b2ae8c90cadb8c953ce50efb9c02a.png)
u zadataku:
![f(f(x_0))+2-f(2-f(x))=2](/media/m/f/3/0/f30dc9d63290cd8576f9e852466bebb3.png)
![f(f(x_0))-f(2-f(x))=0](/media/m/7/8/1/781fc5aa10b9929801e9dbae2508ce6f.png)
![f(f(x_0))=f(2-f(x))](/media/m/f/c/0/fc0895b97b705c99a27797f4f2d84df5.png)
- iz injektivnosti funkcije
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
slijedi:
![f(x_0)=2-f(x_0)](/media/m/a/5/0/a50b33c90255d1bd99e018cd432cd043.png)
![2f(x_0)=2](/media/m/6/3/e/63e56fa231ec26f7564fea325bca92df.png)
![f(x_0)=1](/media/m/e/3/5/e352d16b4e9291438a8eacb638213346.png)
- a budući da je
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
bijekcija
![x_o](/media/m/a/7/6/a7677218f3ca8e3c2f2398a15c71316d.png)
mora biti jedinstven.
%V0
Iz teksta zadatka jasno je da je f bijekcija, pa definirajmo f kao funkciju koja svakom elementu iz $A$ pridruži točno jedan element skupa $B$.
$(\forall y\in B)(\exists! x \in A) y=f(x)$ Ako je $f(x)$ bijekcija onda je ona također injekcija i surjekcija.
Injekcija: $(\forall x_1,x_2 \in A) (x_1\ne x_2 \rightarrow f(x_1)\ne f(x_2))$
Surjekcija: $(\forall y\in B)(\exists x \in A) y=f(x)$ Ako je $f(x)$
Znamo da je: $f(x)+g(x)=2$ pa izrazimo funkciju $g(x)$ preko $f(x)$.
$g(x)=2-f(x)$ i to povratnom supstitucijom vratimo u drugi uvijet o funkcijama $f$ i $g$ u zadataku:
$f(f(x_0))+2-f(2-f(x))=2$
$f(f(x_0))-f(2-f(x))=0$
$f(f(x_0))=f(2-f(x))$ - iz injektivnosti funkcije $f$ slijedi:
$f(x_0)=2-f(x_0)$
$2f(x_0)=2$
$f(x_0)=1$ - a budući da je $f$ bijekcija $x_o$ mora biti jedinstven.
21. veljače 2016. 20:21 | grga | Točno |