Točno
2. travnja 2012. 21:51 (12 godine, 3 mjeseci)
Od svih brojeva oblika
![36^m - 5^n](/media/m/4/8/2/48279b3080f15e7b68442a1f839fd037.png)
, gdje su
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
i
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
prirodni brojevi, odredi najmanji po apsolutnoj vrijednosti.
%V0
Od svih brojeva oblika $36^m - 5^n$, gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, odredi najmanji po apsolutnoj vrijednosti.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
![m = 1, n = 2 \Rightarrow 36^m - 5^n = 11](/media/m/0/d/2/0d29bb8b6301b6999c62e1be4515111e.png)
. pokazimo da je
![11](/media/m/0/d/2/0d2d0ab9a023da1d30a2ddc91cbc38db.png)
minimalno. ili je vece
![36^m](/media/m/0/7/3/0738763cf9c0e41a662e25a1e1d401f4.png)
ili
![5^n](/media/m/c/1/6/c1643d00f8c842fa62adbc22408b63ad.png)
. takoder,
![36^m](/media/m/0/7/3/0738763cf9c0e41a662e25a1e1d401f4.png)
zavrsava sa
![6](/media/m/e/e/e/eeec330d59a70f8ed1d6882474cb02a3.png)
uvijek, a
![5^n](/media/m/c/1/6/c1643d00f8c842fa62adbc22408b63ad.png)
sa
![5](/media/m/e/a/3/ea36c795dac330f34d395d8364d379b6.png)
.
a)
![36^m](/media/m/0/7/3/0738763cf9c0e41a662e25a1e1d401f4.png)
veci - moguce razlike su
![1, 11, ...](/media/m/7/2/7/72760d1e80fa77c325b868168e25d36c.png)
ako je razlika
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
onda
![36^m - 1 = 5^n \Rightarrow (6^m - 1)(6^m + 1) = 5^n](/media/m/c/d/6/cd63bc008002429444ecfb498a003833.png)
, ali buduci da je
![m \in \mathbb{N}](/media/m/1/b/6/1b658ec5755c3f77f43a2bc121c4bf9a.png)
nije moguce da
![5 | (6^m - 1)](/media/m/a/8/d/a8d048d923b1c80dcbf4e6630f024d7f.png)
i
![5 | (6^m + 1)](/media/m/8/c/5/8c5f0ab595c04f574367a38c76d0ec0d.png)
jer tada
![5 | 2 \cdot 6^m](/media/m/e/e/1/ee15810115615734f5dc90cefcdfd0ce.png)
sto nije istina.
b)
![5^n](/media/m/c/1/6/c1643d00f8c842fa62adbc22408b63ad.png)
veci - moguce razlike su
![9, 19, ...](/media/m/b/6/8/b68b0a0a949048d43af8ec9cc93f4fc1.png)
ali
![9](/media/m/7/f/0/7f02ff2403dbf63ddc4395762441de88.png)
nemoze biti, jer
![5](/media/m/e/a/3/ea36c795dac330f34d395d8364d379b6.png)
nije djeljivo s
%V0
$m = 1, n = 2 \Rightarrow 36^m - 5^n = 11$. pokazimo da je $11$ minimalno. ili je vece $36^m$ ili $5^n$. takoder, $36^m$ zavrsava sa $6$ uvijek, a $5^n$ sa $5$.
a) $36^m$ veci - moguce razlike su $1, 11, ...$
ako je razlika $1$ onda
$36^m - 1 = 5^n \Rightarrow (6^m - 1)(6^m + 1) = 5^n$, ali buduci da je $m \in \mathbb{N}$ nije moguce da $5 | (6^m - 1)$ i $5 | (6^m + 1)$ jer tada $5 | 2 \cdot 6^m$ sto nije istina.
b) $5^n$ veci - moguce razlike su $9, 19, ...$
ali $9$ nemoze biti, jer $5$ nije djeljivo s $3$