Neocijenjeno
23. veljače 2016. 13:29 (8 godine, 4 mjeseci)
Sakrij rješenje
Neka su
![a,b,c](/media/m/3/6/4/36454fdb50fc50f021324b33a6b513e3.png)
pozitivni realni brojevi takvi da je
![a+b+c\leqslant3](/media/m/f/e/2/fe27fa89e03bda7e275f888267e5c9c0.png)
. Odredite najmanju moguću vrijednost izraza
%V0
Neka su $a,b,c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a+b+c\leqslant3$. Odredite najmanju moguću vrijednost izraza $$\frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}.$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Vrijedi:
![\frac{a+1}{a(a+2)}=\frac{1}{2}\frac{a+a+2}{a(a+2)}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2(a+2)},](/media/m/8/0/d/80d985c1426cfc6022cd642779aecf8b.png)
i potpuno analogno,
![\frac{b+1}{b(b+2)}=\frac{1}{2b}+\frac{1}{2(b+2)},\ \frac{c+1}{c(c+2)}=\frac{1}{2c}+\frac{1}{2(c+2)}.](/media/m/6/3/8/63862def0bcca530200c2aac6e847009.png)
Primjenom
![AH](/media/m/1/7/0/1700da59d12a188862b9dc234aba8941.png)
nejednakosti i uvjeta zadatka dobivamo
![\frac{1}{2(a+2)}+\frac{1}{2(b+2)}+\frac{1}{2(c+2)}\stackrel{AH}{\geqslant}\frac{9}{2(a+b+c)+12}\geqslant\frac{9}{2\cdot3+12}=\frac{1}{2}.](/media/m/7/2/1/721b36bc558d46ef4c2a266aaebcf2ee.png)
Zbrajanjem dobivenih nejednakosti i korištenjem gornjih identiteta slijedi
![\frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}\geqslant\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2.](/media/m/6/e/7/6e77f79849d8304900fba8bda90278b7.png)
Uočimo da ovo uistinu jest najmanja moguća vrijednost zadanog izraza: naime, jednakost se postiže kada se postižu jednakosti u
![AH](/media/m/1/7/0/1700da59d12a188862b9dc234aba8941.png)
nejednakostima i u uvjetu zadatka, a to je u slučaju
![a=b=c](/media/m/8/d/4/8d4eeb941e4d34da2f421b1d6d929257.png)
i
![a+b+c=3](/media/m/0/f/2/0f2a614cc54fae97ed1615624f388f90.png)
. Dakle, jednakost se postiže za
![a=b=c=1](/media/m/0/a/8/0a8ea512904ed2478f13e3b3a9ccf7d4.png)
.
%V0
Vrijedi: $$
\frac{a+1}{a(a+2)}=\frac{1}{2}\frac{a+a+2}{a(a+2)}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2(a+2)},
$$ i potpuno analogno, $$
\frac{b+1}{b(b+2)}=\frac{1}{2b}+\frac{1}{2(b+2)},\ \frac{c+1}{c(c+2)}=\frac{1}{2c}+\frac{1}{2(c+2)}.
$$ Primjenom $AH$ nejednakosti i uvjeta zadatka dobivamo $$
\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\stackrel{AH}{\geqslant}\frac{9}{2(a+b+c)}\geqslant\frac{9}{2\cdot3}=\frac{3}{2},
$$ $$
\frac{1}{2(a+2)}+\frac{1}{2(b+2)}+\frac{1}{2(c+2)}\stackrel{AH}{\geqslant}\frac{9}{2(a+b+c)+12}\geqslant\frac{9}{2\cdot3+12}=\frac{1}{2}.
$$ Zbrajanjem dobivenih nejednakosti i korištenjem gornjih identiteta slijedi $$
\frac{a+1}{a(a+2)}+\frac{b+1}{b(b+2)}+\frac{c+1}{c(c+2)}\geqslant\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2.
$$ Uočimo da ovo uistinu jest najmanja moguća vrijednost zadanog izraza: naime, jednakost se postiže kada se postižu jednakosti u $AH$ nejednakostima i u uvjetu zadatka, a to je u slučaju $a=b=c$ i $a+b+c=3$. Dakle, jednakost se postiže za $a=b=c=1$.