Školjka

%V0 [url=http://www.skoljka.org/media/attachment/0/00041_zrxcade9x2omiibyobb7/sim_zup_zad4.png](Link na skicu)[/url] Označimo stranice trokuta $ABC$ standardno sa $a,b,c$ te sa $s$ njegov poluopseg. Neka je $I$ središte upisane kružnice tog trokuta i neka su $E$, $F$, tim redom, dirališta upisane kružnice i stranica $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$. Budući da je $BC\parallel GH$, trokuti $ABC$ i $AGH$ su slični (to su trokuti s jednakim kutovima), a potpuno analogno slijedi i da su trokuti $ALH$ i $ADC$ slični. Budući da su odsječci tangenti iz neke točke na kružnicu međusobno jednake duljine, vrijedi $|CD|=|CE|$, $|AE|=|AF|$, $|BF|=|BD|$. Odavde dobivamo $|CD|=s-c$, a zbog prethodno dokazanih sličnosti slijedi $|LH|=s'-c'$ (gdje smo sa $s'$, $a'$, $b'$, $c'$ redom označili poluopseg i duljine stranica trokuta $ALH$). No, budući da su točke $K$ i $F$ dirališta tangenti na upisanu kružnicu iz točke $G$, imamo $|GF|=|GK|$, a analogno dobivamo $|HK|=|HE|$. Sada slijedi $$$ \begin{equation*} \begin{split} 2|AF| & =|AF|+|AE|\\ & =|AG|+|GF|+|HE|+|AH|\\ & =|AG|+|GK|+|HK|+|AH|\\ & =|AG|+|GH|+|AH|\\ & =2s'. \end{split} \end{equation*}$$$ Dakle, $|AF|=s'$ pa $$ |GK|=|GF|=s'-c=|HL|, $$ što je i trebalo pokazati.