Školjka

%V0 evo jednog zapravo identicnog rjesenja, ali malo drukcije zapisanog, tako da se pokaze da se zapravo radi o sustavu jednadbi. neka su ucenici zamislili redom $x_1, ... x_{10}$ (onaj ucenik koji je izrekao $1$ zamislio je $x_1$, ..., onaj koji je izrekao $10$ zamislio je $x_{10}$) sad, ako pogledamo ucenika koji je izgovorio $1$, znamo da vrijedi $\frac{x_{10} + x_2}{2} = 1$, tj $x_{10} + x_2 = 2$. slicno ako pogledamo ucenika koji je izgovorio $2$ znamo $x_1 + x_3 = 4$. slicno, dolazimo do sustava s $10$ jednadbi i $10$ nepoznanica (broj u zagradi oznacava redni broj jednadbe, to ce nam trebati kasnije): $$x_{10} + x_2 = 2 \qquad \qquad (1)$$ $$x_1 + x_3 = 4 \qquad \qquad (2)$$ $$x_2 + x_4 = 6 \qquad \qquad (3)$$ $$x_3 + x_5 = 8 \qquad \qquad (4)$$ $$x_4 + x_6 = 10 \qquad \qquad (5)$$ $$x_5 + x_7 = 12 \qquad \qquad (6)$$ $$x_6 + x_8 = 14 \qquad \qquad (7)$$ $$x_7 + x_9 = 16 \qquad \qquad (8)$$ $$x_8 + x_{10} = 18 \qquad \qquad (9)$$ $$x_9 + x_1 = 20 \qquad \qquad (10)$$ ovaj sustav, iako ima $10$ jednadbi i $10$ nepoznanica, se dosta lako rijesi. pogotovo jer su nepoznanice s parnim i neparnim indexima "odvojene", pa ga mozemo promatrati kao $2$ sustava $5 \times 5$, a posto nas zadatak trazi samo $x_6$, dovoljno je gledati samo jedan sustav $5 \times 5$. u sluzbenom rjesenju je zapravo indirektno opisano rjesavanje ovog sustava, pogledajmo kako: oznacimo $x_6 = x$. iz $(5)$ slijedi $x_4 = 10 - x$. iz $(3)$ slijedi $x_2 = 6 - x_4 = 6 - (10 - x) = x - 4$. .. sad ide ovaj dio sa "analogno" iz sluzbenog.. iz $(1)$ slijedi $x_{10} = 2 - x_2 = 2 - (x - 4) = 6 - x$. iz $(9)$ slijedi $x_8 = 18 - x_{10} = 18 - (6 - x) = 12 + x$. .. i sad za kraj imamo .. iz $(7)$ slijedi $x_6 + x_8 = 14$, odnosno $x + (12 + x) = 14$, pa ispada $x = 1$. naravno, dani podsustav $5 \times 5$ se mogao rijesiti raznim redosljedom supstitucija, ovo je bio samo jedan od mogucih.