Školjka

%V0 Ako je $y \ge 1 - \frac{1}{100} = t$, gotovi smo. Pretpostavimo $y < t$. Tada $x > 1 - t^{2016}$. Dokazat ćemo $(1 - t^{2016})^{2016} > t$, iz čega slijedi tvrdnja zadatka jer $y > 0$. Vrijedi Bernoullijeva nejednakost $(1 - x)^n \ge 1 - nx $ za $\; 0<x<1$. Ona se zapravo lako dokaže AG-om: $$y^n + n - 1 = y^n + 1 + \ldots + 1 \ge ny,$$ i uzmemo $y = 1 - x$. Primijenimo li je na $x = t^{2016}$ i $n = 2016$, dobivamo: $$(1 - t^{2016})^{2016} \ge 1 - 2016t^{2016}.$$ Ostaje dokazati $1 - 2016t^{2016} \ge t$, što je ekvivalentno $t^{2016} \le \frac{1}{100 \cdot 2016}$. Poznato je da je: $$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \frac{1}{e} < \frac{1}{2}.$$ Lako se dobije da je funkcija pod limesom rastuća, tj. teži tom limesu odozdo. Zato: $$t^{2016} \le t^{2000} \le ((1 - \frac{1}{100})^{100})^{20} < \frac{1}{2^{20}} < \frac{1}{128 * 2048} < \frac{1}{100 \cdot 2016} \, \, \, \blacksquare$$