Školjka

%V0 Uocimo da uvijet mozemo zapisati kao $ 1=x(w+y)+z(w+y)=(x+z)(w+y) $ Prema Holderovoj nejednakosti vrijedi: $ \displaystyle \sum\limits_{cyc}{ \frac{w^3}{x+y+z}} \cdot 3\sum\limits_{cyc}{x} \cdot (1+1+1+1) \geqslant (x+y+z+w)^3 $ pa nakon djeljenja prethodnog izraza sa $ 12(x+y+z+w) $ dobivamo $ \displaystyle \sum\limits_{cyc}{ \frac{w^3}{x+y+z}} \geqslant \frac{(x+y+z+w)^2}{12} $ pa je dovoljno pokazati $ \displaystyle \frac{(x+y+z+w)^2}{12} \geqslant \frac{1}{3} $ odnosno $ \displaystyle (x+y+z+w)^2 \geqslant 4 $ nakon korjenovanja, sto smijemo jer su $ x,y,z,w $ pozitivni dobivamo $ \displaystyle (x+y+z+w) \geqslant 2 $ oznacimo sada $ x+z=a $ i $ y+w=b $ tada vrijedi $ ab=1 $ pa jednakost prelazi u $ \displaystyle (a+b) \geqslant 2 $ sto vrijedi po A-G nejdnakosti