Točno
20. ožujka 2016. 19:06 (8 godine, 3 mjeseci)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Trivijalno je uvidjeti da su sljedeći četverokuti tetivni:
.
Iz toga slijedi:
i
. Kako je
slijedi
. Kako je i
konačno slijedi i
.
Zbog vršnih kuteva nadopunjujemo:
.
Neka je
. Primijetimo
.
Po jednadžbama zbroja kutova u trokutu se dobiva:
![\angle PAB = \gamma - \gamma_1](/media/m/9/a/a/9aafffd8da8a384c454149c12a8879bc.png)
![\angle PBA = 180 - \gamma - \gamma_2 = \gamma_1](/media/m/e/0/3/e0311ff2a0eb76ba5e2893c41e81253e.png)
.
Kako je
slijedi da je
tetivan četverokut.
Sada je iz toga:
te je
.
Iz
slijedi
, što je i trebalo dokazati.
![AFHE, FBDH, EHDC](/media/m/8/a/d/8adba92171dcd1538d80b49c1a9e7975.png)
Iz toga slijedi:
![\angle EFH = \angle HAE](/media/m/1/c/5/1c57801a5b22264e5b4bbb4ef6a555f9.png)
![\angle HFD = \angle HBD](/media/m/b/5/2/b528594bc9e7ad15417e12811e64ab1f.png)
![\angle DAC = \angle EBC = 90 - \angle C](/media/m/b/d/2/bd26cebbf8020340a3f3eb3a7b495182.png)
![\angle EFH = \angle HFD](/media/m/0/e/7/0e74514823e05b84641955c2595adac7.png)
![\angle CFA = \angle CFB](/media/m/5/a/7/5a7df94789c42d2e261bab18f05227ff.png)
![\angle EFA = \angle DFB](/media/m/3/0/a/30a7a2a130aa3154a2c713ebcca4b7b6.png)
Zbog vršnih kuteva nadopunjujemo:
![\angle EFA = \angle DFB= \angle AFQ = \angle PFB = \angle C](/media/m/9/d/8/9d8184c8851f7b788f85b5f5da38d532.png)
Neka je
![\angle C= \gamma, \angle APF = \gamma_1, \angle FPB = \gamma_2](/media/m/0/5/a/05aa6cc7d0a5b68bb47f11ffb76fa585.png)
![\angle APB = 180 - \gamma = \gamma_1 + \gamma_2](/media/m/7/a/0/7a0432ec34f4df43b68c3acb555768aa.png)
Po jednadžbama zbroja kutova u trokutu se dobiva:
![\angle PAB = \gamma - \gamma_1](/media/m/9/a/a/9aafffd8da8a384c454149c12a8879bc.png)
![\angle PBA = 180 - \gamma - \gamma_2 = \gamma_1](/media/m/e/0/3/e0311ff2a0eb76ba5e2893c41e81253e.png)
![\angle FQB = 180 - (180 - \gamma) - \gamma_1 = \gamma - \gamma_1](/media/m/c/3/5/c3570be85e07e06ad64ae2bbab227115.png)
Kako je
![\angle PAB = \angle FQB](/media/m/d/3/8/d3837de3333c26405b5b7e6dc317efd5.png)
![QPFA](/media/m/a/f/9/af93802cfe031b1789149b47f4d13b1c.png)
Sada je iz toga:
![\angle APQ = \angle QFA= \gamma](/media/m/e/7/8/e78302c66015a903bf78d36ecfd32400.png)
![\angle AQP = \angle AQF + \angle PQF = \angle FPA + \angle PAF = 180 - \angle AFP = \gamma](/media/m/9/7/d/97d324c5699237497c8248875355b10c.png)
Iz
![\angle APQ = \angle AQP](/media/m/4/9/9/499eff56d1805c5ec7f0f44fc6ccd1d3.png)
![AP = AQ](/media/m/7/4/e/74e5018a4bab4e09c8296124e4bd9836.png)
Ocjene: (1)
Komentari:
grga, 4. svibnja 2016. 14:46