Školjka

%V0 Trivijalno je uvidjeti da su sljedeći četverokuti tetivni: $AFHE, FBDH, EHDC$. Iz toga slijedi: $\angle EFH = \angle HAE$ i $\angle HFD = \angle HBD$. Kako je $\angle DAC = \angle EBC = 90 - \angle C$ slijedi $\angle EFH = \angle HFD$. Kako je i $\angle CFA = \angle CFB$ konačno slijedi i $\angle EFA = \angle DFB$. Zbog vršnih kuteva nadopunjujemo: $\angle EFA = \angle DFB= \angle AFQ = \angle PFB = \angle C$. Neka je $\angle C= \gamma, \angle APF = \gamma_1, \angle FPB = \gamma_2$. Primijetimo $\angle APB = 180 - \gamma = \gamma_1 + \gamma_2$. Po jednadžbama zbroja kutova u trokutu se dobiva: $\angle PAB = \gamma - \gamma_1$ $\angle PBA = 180 - \gamma - \gamma_2 = \gamma_1$ $\angle FQB = 180 - (180 - \gamma) - \gamma_1 = \gamma - \gamma_1$. Kako je $\angle PAB = \angle FQB$ slijedi da je $QPFA$ tetivan četverokut. Sada je iz toga: $\angle APQ = \angle QFA= \gamma$ te je $\angle AQP = \angle AQF + \angle PQF = \angle FPA + \angle PAF = 180 - \angle AFP = \gamma$. Iz $\angle APQ = \angle AQP $ slijedi $AP = AQ$, što je i trebalo dokazati.